# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, średnia arytmetyczna, mediana, statystyka

## Treść

Zadanie 23. (0-1)
Średnia arytmetyczna zestawu danych: x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 jest równa 9. Wtedy mediana
tego zestawu danych jest równa
A. 8
B. 9
C. 10
D. 16
Średnia arytmetyczna zestawu danych: x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa A. 8, B. 9, C. 10, D. 16.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - mediana wynosi \(9\)

## Sposób 1 - Wyznaczenie \(x\) ze średniej, potem mediana

**Krok 1: Wyznaczamy \(x\) z warunku na średnią arytmetyczną.**

Zestaw ma \(8\) elementów: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\).

Wzór na średnią:
\[\bar{a} = \frac{x + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14}{8} = 9\]

Sumujemy znane wyrazy:
\[2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56\]

Zatem:
\[\frac{x + 56}{8} = 9\]
\[x + 56 = 72\]
\[\boxed{x = 16}\]

**Krok 2: Układamy dane w porządku rosnącym.**

Pełny zestaw po wstawieniu \(x = 16\):
\[2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16\]

**Krok 3: Wyznaczamy medianę.**

Mamy \(n = 8\) elementów (parzysta liczba). Mediana to **średnia arytmetyczna 4. i 5. wyrazu** w uszeregowanym ciągu:

\[\text{mediana} = \frac{a_4 + a_5}{2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = \boxed{9}\]

## Sposób 2 - Obserwacja symetryczna (bez liczenia \(x\))

Zauważamy, że znane wyrazy \(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) tworzą **ciąg arytmetyczny** o środku \(\frac{2+14}{2} = 8\).

Średnia całego zestawu wynosi \(9 > 8\), więc nieznany wyraz \(x\) musi być **większy niż 14** (przesuwa środek ciężkości w górę).

Stąd po ułożeniu: \(2, 4, 6, 8, \underbrace{10, 12, 14, x}_{x > 14}\)

Mediana to średnia 4. i 5. wyrazu, czyli \(\frac{8 + 10}{2} = 9\). ✓

(Wartość \(x\) nie wpływa na medianę, o ile \(x > 10\) - a tak jest, bo \(x = 16\).)

## Wzory z karty CKE

**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**

Średnia arytmetyczna:
\[\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\]
Użyta w Kroku 1 do wyznaczenia \(x\).

Mediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \(n\), lub **średnia dwóch środkowych wyrazów** dla parzystego \(n\).
Użyta w Kroku 3 - mamy \(n = 8\), więc bierzemy \(\frac{a_4 + a_5}{2}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **A: \(8\)** | Uczeń oblicza medianę z oryginalnego zestawu **przed** wstawieniem \(x\), czyli z \(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) (7 elementów) - mediana to \(8\). Zapomina, że \(x\) też należy do zestawu. |
| **C: \(10\)** | Uczeń błędnie uznaje 5. wyraz \((10)\) za medianę, zamiast uśredniać 4. i 5. Albo liczy medianę z samych parzystych indeksów. |
| **D: \(16\)** | Uczeń utożsamia \(x = 16\) (obliczona wartość) z medianą - myli dwie różne statystyki. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Mediana wymaga **posortowania** danych - zanim policzysz środkowy wyraz, upewnij się, że wstawiłeś \(x\) i uszeregowałeś cały zestaw rosnąco.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy **parzystej** liczbie elementów mediana to **średnia dwóch środkowych** - nie jeden środkowy wyraz. Dla \(n = 8\) są to wyrazy na pozycjach 4. i 5.

> ⚠️ **Uwaga:** Średnia \(\neq\) mediana. Tu obie wychodzą \(9\), ale to zbieżność - nie zakładaj, że zawsze będą równe!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wyznaczenie \(x\) ze średniej, potem mediana
Średnia \(= \dfrac{\text{suma}}{\text{ilość}} = 9\). Zestaw ma 8 elementów:
\[\dfrac{x + 2+4+6+8+10+12+14}{8} = 9.\]
\[x + 56 = 72 \Rightarrow x = 16.\]

Posortowany zestaw: \(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\).

Mediana (8 elementów - parzysta liczba): średnia dwóch środkowych (4. i 5.):
\[\text{mediana} = \dfrac{8+10}{2} = 9.\]

### Sposób 2 - Odczytanie wyniku
4-ty wyraz = \(8\), 5-ty = \(10\), mediana = \((8+10)/2 = 9\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(8\)** - to 4-ty wyraz (nie mediana dla parzystej liczby elementów).
- **C. \(10\)** - to 5-ty wyraz.
- **D. \(16\)** - to wartość \(x\) (po wyznaczeniu), nie mediana.

**Trik:** Dla \(n\) parzystego, mediana = średnia dwóch środkowych wyrazów z **posortowanego** zestawu.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-2) Dane są zdarzenia losowe , A B ⊂Ω takie, że ( ) 2 7 P A = i ( ) 3 5 P A B ∪ . Oblicz ( ) P B A , gdzie zdarzenie B A oznacza różnicę zdarzeń B 
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Średnia arytmetyczna dwóch liczb 𝑥 i 𝑦 jest równa 4, a średnia arytmetyczna trzech liczb 𝑥, 𝑦, 𝑧 jest równa 5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą
- [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 2. Średnia arytmetyczna czterech liczb: 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, jest równa 5,5. Średnia arytmetyczn
- [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 12. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 2𝑎, 3𝑎, 2𝑏, 3𝑏, 2𝑐, 3𝑐, jest równa A. 10 B. 12 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_