# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Kombinatoryka

## Treść

Zadanie 24. (0-1)
Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?
A. 2016
B. 2017
C. 1016
D. 1017
Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017? A. 2016; B. 2017; C. 1016; C. 1017.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(1017\)

## Sposób 1 - Zliczanie przez zakres

Czterocyfrowe liczby naturalne to liczby od \(1000\) do \(9999\).

Szukamy tych, które są **mniejsze niż \(2017\)**, czyli z przedziału:
\[\langle 1000, 2016 \rangle\]

Ile liczb całkowitych jest w tym przedziale zamkniętym?

\[\text{ilość} = 2016 - 1000 + 1 = \mathbf{1017}\]

> **Dlaczego \(+1\)?** Gdy liczymy liczby całkowite od \(a\) do \(b\) włącznie, wzór to zawsze \(b - a + 1\). Bez tego \(+1\) „tracimy" pierwszy wyraz.

## Sposób 2 - Podział na przypadki

Czterocyfrowe liczby mniejsze niż \(2017\) dzielimy na dwie grupy:

**Grupa 1:** Liczby od \(1000\) do \(1999\) (zaczynające się od cyfry \(1\))

Tych liczb jest dokładnie:
\[1999 - 1000 + 1 = 1000\]

**Grupa 2:** Liczby od \(2000\) do \(2016\) (zaczynające się od \(2\), ale mniejsze niż \(2017\))

Tych liczb jest:
\[2016 - 2000 + 1 = 17\]

**Łącznie:**
\[1000 + 17 = \mathbf{1017}\]

Wynik ten sam - **D**.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość zliczania liczb całkowitych w przedziale:
\[\text{ilość} = b - a + 1\]
To elementarna zasada kombinatoryczna, nie wymagająca karty wzorów.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A. \(2016\) | Uczeń liczy od \(1\) do \(2016\) (wszystkie liczby naturalne mniejsze niż \(2017\)), zapominając o warunku **czterocyfrowa** - od \(1000\) |
| B. \(2017\) | Podobnie jak A, ale dodatkowo myli „mniejsze niż \(2017\)" z „mniejsze lub równe \(2017\)" |
| C. \(1016\) | Poprawna metoda, ale błąd \(\pm 1\): wynik \(2016 - 1000 = 1016\) bez dodania \(+1\) - klasyczny błąd ogrodnika (fence-post error) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** „Mniejsze niż 2017" NIE obejmuje samej liczby \(2017\). Ostatnia liczba w przedziale to \(2016\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy zliczaniu liczb całkowitych w przedziale \(\langle a, b \rangle\) zawsze pamiętaj o \(+1\): wzór to \(b - a + 1\), nie \(b - a\). Błąd o \(\pm 1\) (off-by-one) to najczęstszy błąd w kombinatoryce.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „czterocyfrowe" (od \(1000\)) z „wszystkie naturalne" (od \(1\)). Odpowiedź A to klasyczna pułapka dla nieuważnych.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Zakres liczb i zliczanie
Liczby czterocyfrowe to \(1000, 1001, \ldots, 9999\). Mniejsze niż \(2017\) to \(1000, 1001, \ldots, 2016\).

Liczba elementów: \(2016 - 1000 + 1 = 1017\).

### Sposób 2 - Zasada "+1" dla przedziałów dyskretnych
Od \(a\) do \(b\) włącznie mamy \(b - a + 1\) liczb naturalnych. Tutaj \(a=1000\), \(b=2016\) (pamiętajmy: "mniejsze niż \(2017\)" = \(\leqslant 2016\)).

\[\text{ilość} = 2016 - 1000 + 1 = 1017.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(2016\)** - ktoś policzył od \(1\) do \(2016\) (wszystkie liczby, nie tylko czterocyfrowe).
- **B. \(2017\)** - po prostu sama liczba \(2017\) (błąd konceptualny).
- **C. \(1016\)** - zapomniano o \(+1\) (\(2016 - 1000 = 1016\)).

**Trik:** Pułapka "\(+1\)" - zawsze licz **obie krańcowe** wartości! Np. od 1 do 5 to 5 liczb, nie 4.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (3 pkt) Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15. Odpowiedź: Poziom rozszerzony 15 Oblicz, ile j
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2017-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) Ze zbioru liczb { } 15 , 14 , 13 , 12 , 11 , 10 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczb
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-1) Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 5
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dzies

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_