# Matematyka — zadanie 25 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/25 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo ## Treść Zadanie 25. (0-1) Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 1 3 . Liczba kul czarnych jest równa A. 9 n = B. 2 n = C. 18 n = D. 12 n = l x y 3 0 30° MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 1/3. Liczba kul czarnych jest równa A. n=9; B. n=2; C. n=18; D. n=12. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(n = 12\) ## Sposób 1 - równanie z definicji prawdopodobieństwa Losujemy jedną kulę z pudełka. Wszystkich kul jest \(6 + n\), kul białych jest \(6\). Prawdopodobieństwo klasyczne: \[P(\text{biała}) = \frac{\text{liczba kul białych}}{\text{wszystkie kule}} = \frac{6}{6 + n}\] Wiemy, że to prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{1}{3}\), więc: \[\frac{6}{6 + n} = \frac{1}{3}\] Mnożymy obie strony przez \(3(6 + n)\): \[6 \cdot 3 = 1 \cdot (6 + n)\] \[18 = 6 + n\] \[\boxed{n = 12}\] **Odpowiedź D jest poprawna.** ## Sposób 2 - rozumowanie przez proporcje Prawdopodobieństwo \(\frac{1}{3}\) oznacza, że **co trzecia kula jest biała**, czyli kule białe stanowią \(\frac{1}{3}\) wszystkich kul. Skoro kul białych jest \(6\), a jest ich \(\frac{1}{3}\) całości, to wszystkich kul jest: \[6 = \frac{1}{3} \cdot \text{(wszystkie kule)} \implies \text{wszystkie kule} = 6 \cdot 3 = 18\] Kul czarnych: \[n = 18 - 6 = \mathbf{12}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] Użyliśmy tego wzoru ustawiając \(\frac{6}{6+n} = \frac{1}{3}\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A \((n=9)\) | Ustawienie \(\frac{6}{n} = \frac{1}{3}\) zamiast \(\frac{6}{6+n} = \frac{1}{3}\) - zapomnienie, że mianownik to **wszystkie** kule, nie tylko czarne | | B \((n=2)\) | Pomylenie - zamiast \(\frac{6}{6+n}\) policzono \(\frac{n}{6+n} = \frac{1}{3}\), czyli jakby szukano prawdopodobieństwa wylosowania kuli **czarnej** | | C \((n=18)\) | Wzięcie całkowitej liczby kul (\(18\)) jako odpowiedź, bez odjęcia kul białych | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Mianownik we wzorze na prawdopodobieństwo to **wszystkie** kule, czyli \(6 + n\), a nie samo \(n\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania. > ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu liczby **wszystkich** kul (tu: 18) pamiętaj odjąć kule białe - wynik \(n = 18\) to pułapka zastawiona przez odpowiedź C. > ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik: przy \(n = 12\) mamy \(\frac{6}{6+12} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\) ✓ **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego (karta wzorów: \(P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}\)) Liczba kul białych: \(|A| = 6\). Liczba wszystkich kul: \(|\Omega| = 6 + n\). \[P(\text{biała}) = \dfrac{6}{6+n} = \dfrac{1}{3}.\] \[3\cdot 6 = 1\cdot (6+n) \Rightarrow 18 = 6+n \Rightarrow n = 12.\] ### Sposób 2 - Proporcja "1 na 3" Skoro prawdopodobieństwo białej = \(\tfrac{1}{3}\), to białe to \(\tfrac{1}{3}\) wszystkich kul. Wszystkich jest \(3\cdot 6 = 18\). Czarnych: \(18 - 6 = 12\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(n=9\)** - wtedy wszystkich \(15\), \(P = \tfrac{6}{15} = \tfrac{2}{5}\). - **B. \(n=2\)** - wtedy wszystkich \(8\), \(P = \tfrac{6}{8} = \tfrac{3}{4}\). - **C. \(n=18\)** - wtedy wszystkich \(24\), \(P = \tfrac{6}{24} = \tfrac{1}{4}\). **Trik:** \(P = \tfrac{1}{3}\) oznacza: na każde \(1\) sukces przypada \(2\) porażki. Białych = 6, więc czarnych = \(2\cdot 6 = 12\). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/25) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F25) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp - [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 . - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_