# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
2
2
6
0
≤
x
x
Odpowiedź:

MMA_1P
Rozwiąż nierówność 2x^2+x-6 ≤ 0.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x \in \left\langle -2,\ \frac{3}{2} \right\rangle\)

## Sposób 1 - Wyróżnik i odczyt z paraboli

**Krok 1: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu**

Mamy \(f(x) = 2x^2 + x - 6\). Rozwiązujemy równanie \(2x^2 + x - 6 = 0\).

Obliczamy wyróżnik:
\[\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49\]
\[\sqrt{\Delta} = 7\]

Miejsca zerowe:
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]

**Krok 2: Odczytaj znak funkcji**

Współczynnik \(a = 2 > 0\), więc parabola jest **skierowana ramionami ku górze** (uśmiech).

Taka parabola przyjmuje wartości **ujemne lub zerowe** między pierwiastkami:

\[f(x) \leq 0 \iff x \in \langle x_1,\, x_2 \rangle\]

**Odpowiedź:**
\[\boxed{x \in \left\langle -2,\, \frac{3}{2} \right\rangle}\]

## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (postać iloczynowa)

**Krok 1: Rozłóż trójmian na czynniki**

Skoro znamy miejsca zerowe \(x_1 = -2\), \(x_2 = \frac{3}{2}\), zapisujemy:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - (-2))\left(x - \frac{3}{2}\right)\]
\[f(x) = 2(x + 2)\left(x - \frac{3}{2}\right)\]

Wygodniej: mnożymy \(2 \cdot \left(x - \frac{3}{2}\right) = (2x - 3)\), więc:
\[f(x) = (x + 2)(2x - 3)\]

**Krok 2: Rozwiąż nierówność iloczynową**

Nierówność staje się:
\[(x + 2)(2x - 3) \leq 0\]

Pierwiastki: \(x = -2\) i \(x = \frac{3}{2}\). Analizujemy znaki czynników:

| Przedział | \(x + 2\) | \(2x - 3\) | Iloczyn |
| \(x < -2\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(-2 < x < \frac{3}{2}\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x > \frac{3}{2}\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

Iloczyn jest \(\leq 0\) (ujemny lub zero) dla \(x \in \left\langle -2,\, \frac{3}{2} \right\rangle\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**

Wyróżnik i pierwiastki trójmianu:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyliśmy do wyznaczenia miejsc zerowych \(x_1 = -2\) i \(x_2 = \frac{3}{2}\).

Postać iloczynowa (dla \(\Delta \geq 0\)):
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do rozkładu na czynniki i tablicy znaków.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Przedziały **zamykamy** - \(\langle -2, \frac{3}{2} \rangle\), bo nierówność jest \(\leq 0\) (nieostre). Uczniowie często wpisują przedział otwarty \((-2, \frac{3}{2})\), tracąc punkty końcowe.

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \(a > 0\) (parabola „uśmiechnięta"), trójmian jest \(\leq 0\) **między** pierwiastkami, a \(\geq 0\) **na zewnątrz**. Przy \(a < 0\) jest odwrotnie - łatwo tu o pomyłkę!

> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek \(\frac{3}{2}\) jako wynik - nie zaokrąglaj do \(1{,}5\) bez potrzeby; w odpowiedzi na egzaminie postać ułamkowa jest zawsze preferowana.

**Poprawna odpowiedź:** \(x \in \left\langle -2, \dfrac{3}{2}\right\rangle\), czyli \(-2 \leqslant x \leqslant \dfrac{3}{2}\).

### Sposób 1 - Delta i wzory na pierwiastki (karta wzorów)
Trójmian \(2x^{2} + x - 6\): \(a=2\), \(b=1\), \(c=-6\).
\[\Delta = b^{2} - 4ac = 1 - 4\cdot 2\cdot (-6) = 1 + 48 = 49, \quad \sqrt{\Delta} = 7.\]
\[x_{1} = \dfrac{-1-7}{4} = -2, \quad x_{2} = \dfrac{-1+7}{4} = \dfrac{3}{2}.\]

Ponieważ \(a = 2 > 0\), parabola ma ramiona w górę; \(f(x) \leqslant 0\) między pierwiastkami (włącznie).

\[\boxed{x \in \left\langle -2, \dfrac{3}{2}\right\rangle.}\]

### Sposób 2 - Rozkład na czynniki
\(2x^{2} + x - 6 = (2x-3)(x+2)\) (sprawdzenie: \(2x^{2}+4x-3x-6 = 2x^{2}+x-6\) ✓).

Nierówność: \((2x-3)(x+2) \leqslant 0\). Iloczyn niedodatni = czynniki różnych znaków (lub jeden \(= 0\)):
- \(x+2 \geqslant 0\) i \(2x-3 \leqslant 0\): \(-2 \leqslant x \leqslant \tfrac{3}{2}\);
- \(x+2 \leqslant 0\) i \(2x-3 \geqslant 0\): sprzeczne.

Rozwiązanie: \(\left\langle -2, \tfrac{3}{2}\right\rangle\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 pkt** - wyznaczenie pierwiastków trójmianu (\(x_{1}=-2\), \(x_{2}=\tfrac{3}{2}\)), nawet jeśli zbiór zapisano błędnie.
- **2 pkt** - poprawny zbiór rozwiązań lub poprawny rysunek na osi z zaznaczonymi końcami.
- **0 pkt** - jeśli \(\Delta < 0\) lub pierwiastki niezwiązane z trójmianem.

**Trik:** Nierówność kwadratowa - dwa kroki: 1) pierwiastki, 2) znak \(a\) decyduje, czy zbiór jest "wewnątrz" czy "na zewnątrz" pierwiastków.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_