# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż równanie \((x^{2} - 6)(3x + 2) = 0\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

\[x = \sqrt{6}, \quad x = -\sqrt{6}, \quad x = -\frac{2}{3}\]

## Sposób 1 - własność iloczynu

Korzystamy z kluczowej zasady: **iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero**.

Równanie \((x^2 - 6)(3x + 2) = 0\) jest już w postaci iloczynowej, więc od razu stawiamy dwa przypadki:

**Przypadek 1:** \(x^2 - 6 = 0\)

\[x^2 = 6\]
\[x = \sqrt{6} \quad \text{lub} \quad x = -\sqrt{6}\]

**Przypadek 2:** \(3x + 2 = 0\)

\[3x = -2\]
\[x = -\frac{2}{3}\]

**Odpowiedź:** Równanie ma trzy rozwiązania:
\[x_1 = -\sqrt{6}, \quad x_2 = -\frac{2}{3}, \quad x_3 = \sqrt{6}\]

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy każde rozwiązanie, podstawiając do oryginalnego równania \((x^2 - 6)(3x + 2) = 0\).

**Sprawdzenie \(x = \sqrt{6}\):**
\[\left((\sqrt{6})^2 - 6\right)(3\sqrt{6} + 2) = (6 - 6)(3\sqrt{6} + 2) = 0 \cdot (3\sqrt{6} + 2) = 0 \checkmark\]

**Sprawdzenie \(x = -\sqrt{6}\):**
\[\left((-\sqrt{6})^2 - 6\right)(3 \cdot (-\sqrt{6}) + 2) = (6 - 6)(-3\sqrt{6} + 2) = 0 \cdot (-3\sqrt{6} + 2) = 0 \checkmark\]

**Sprawdzenie \(x = -\frac{2}{3}\):**
\[\left(\left(-\frac{2}{3}\right)^2 - 6\right)\left(3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 2\right) = \left(\frac{4}{9} - 6\right)(- 2 + 2) = \left(-\frac{50}{9}\right) \cdot 0 = 0 \checkmark\]

Wszystkie trzy rozwiązania są poprawne.

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

Dla czynnika \(x^2 - 6 = 0\) korzystamy ze szczególnego przypadku: \(a = 1, b = 0, c = -6\), więc:
\[\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 24\]
\[x_{1,2} = \frac{0 \pm \sqrt{24}}{2} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{2} = \pm\sqrt{6}\]

Można też użyć prostszego wzoru bezpośrednio z definicji: \(x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}\).

W tym zadaniu nie ma potrzeby stosowania pełnego wzoru na \(\Delta\) - wystarczy własność iloczynu i proste równania liniowe/kwadratowe.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie rozwijaj iloczynu! To najczęstszy błąd - uczniowie mnożą nawiasy i dostają wielomian stopnia 3, który jest dużo trudniejszy do rozwiązania. Iloczyn już gotowy → od razu zeruj każdy czynnik osobno.

> ⚠️ **Uwaga:** Z \(x^2 = 6\) wynikają **dwa** rozwiązania: \(x = \sqrt{6}\) i \(x = -\sqrt{6}\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to bardzo częsty błąd!

> ⚠️ **Uwaga:** \(\sqrt{6}\) zostawiamy w postaci dokładnej - nie zaokrąglamy do \(2{,}449 \), chyba że zadanie wyraźnie tego wymaga.

**Poprawna odpowiedź:** \(x = -\sqrt{6}\) lub \(x = \sqrt{6}\) lub \(x = -\dfrac{2}{3}\).

### Sposób 1 - Iloczyn równy zero (karta wzorów)
Iloczyn jest równy 0, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy 0:
\[x^{2} - 6 = 0 \quad\text{lub}\quad 3x + 2 = 0.\]

**Pierwsze równanie:** \(x^{2} = 6 \Rightarrow x = \sqrt{6}\) lub \(x = -\sqrt{6}\).

**Drugie równanie:** \(3x = -2 \Rightarrow x = -\dfrac{2}{3}\).

Wszystkie rozwiązania: \(x \in \left\{-\sqrt{6}, -\dfrac{2}{3}, \sqrt{6}\right\}\).

### Sposób 2 - Wzór skróconego mnożenia
\(x^{2} - 6 = (x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})\).

Równanie: \((x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})(3x+2) = 0\), stąd trzy rozwiązania:
\[x = \sqrt{6}, \quad x = -\sqrt{6}, \quad x = -\dfrac{2}{3}.\]

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 pkt** - zapisanie dwóch równań \(x^{2}-6=0\) lub \(3x+2=0\), albo rozwiązanie jednego z nich (\(x=-\tfrac{2}{3}\) albo dwa pierwiastki \(x^{2}-6\)).
- **2 pkt** - poprawne wyznaczenie **wszystkich trzech** rozwiązań: \(x = -\tfrac{2}{3}\) lub \(x = \sqrt{6}\) lub \(x = -\sqrt{6}\).
- **Uwaga**: jeśli zamiast "\(=\)" piszesz "\(\neq\)" - możesz otrzymać 1 pkt.

**Trik:** \(x^{2} = 6\) ma **dwa** pierwiastki (dodatni i ujemny) - nie zapomnij o znaku \(-\sqrt{6}\)!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_