# Matematyka — zadanie 28 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/28 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 2 - działy: Równania i nierówności ## Treść Zadanie 28. (0-2) Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 1 4 4 x x ≥ MMA_1P Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 4x + 1/x ≥ 4. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x > 0\) Minimum wyrażenia \(4x + \dfrac{1}{x}\) wynosi **4** i jest osiągane dla \(x = \dfrac{1}{2}\). Dowód poniżej. ## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (sprowadzenie do kwadratu) **Cel:** Pokazać, że \(4x + \dfrac{1}{x} \geqslant 4\), czyli że lewa strona minus prawa jest nieujemna. **Krok 1.** Przenieś wszystko na lewą stronę: \[4x + \frac{1}{x} - 4 \geqslant 0\] **Krok 2.** Ponieważ \(x > 0\), możemy pomnożyć obie strony przez \(x\) - **nierówność nie zmienia kierunku** (mnożymy przez liczbę dodatnią): \[4x^2 + 1 - 4x \geqslant 0\] \[4x^2 - 4x + 1 \geqslant 0\] **Krok 3.** Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia: \[(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2\] Zatem: \[\boxed{(2x-1)^2 \geqslant 0}\] **Wniosek:** Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zatem nierówność \((2x-1)^2 \geqslant 0\) zachodzi dla **każdego** \(x \in \mathbb{R}\), a w szczególności dla każdego \(x > 0\). Każdy krok był równoważny (przemnożyliśmy przez \(x > 0\)), więc teza jest udowodniona. **Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(2x - 1 = 0\), czyli \(x = \dfrac{1}{2}\).** ## Sposób 2 - Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM) **Wzór AM-GM:** Dla dowolnych \(a, b > 0\): \[\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \quad \Longleftrightarrow \quad a + b \geqslant 2\sqrt{ab}\] **Zastosowanie:** Potraktuj \(a = 4x\) i \(b = \dfrac{1}{x}\) (oba dodatnie, bo \(x > 0\)): \[4x + \frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{4x \cdot \frac{1}{x}}\] Oblicz wyrażenie pod pierwiastkiem: \[4x \cdot \frac{1}{x} = 4\] \[2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4\] Zatem: \[\boxed{4x + \frac{1}{x} \geqslant 4}\] **Wniosek:** Teza udowodniona. Równość w AM-GM zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(a = b\), czyli \(4x = \dfrac{1}{x}\), skąd \(4x^2 = 1\), \(x = \dfrac{1}{2}\) - co się zgadza z wynikiem Sposobu 1. ## Wzory z karty CKE **Sposób 1** nie korzysta bezpośrednio z karty wzorów - opiera się na wzorze skróconego mnożenia, który możesz znaleźć w: > **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**: > \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] > Użyliśmy tego do rozpoznania, że \(4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2\). **Sposób 2** korzysta z nierówności AM-GM. Ta nierówność **nie jest wprost zapisana** na karcie CKE jako gotowy wzór, ale jest powszechnie znana i akceptowana na maturze jako twierdzenie. ## Typowe pułapki > ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony nierówności przez \(x\), musisz **wiedzieć, że \(x > 0\)**. Gdyby \(x < 0\), kierunek nierówności by się odwrócił! Treść zadania daje warunek \(x > 0\) - zawsze go sprawdź przed mnożeniem. > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowe jest, że rozumowanie jest **równoważne** - każdy krok "działa w obie strony". Nie możesz zacząć od założenia, że teza jest prawdziwa i z niej coś wyprowadzać - to błąd logiczny (*petitio principii*). Prawidłowo: zaczynamy od \(4x + \frac{1}{x} - 4 \geqslant 0\) i **przekształcamy** do oczywistej prawdy. > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 musisz pamiętać, że AM-GM stosujemy tylko dla **liczb nieujemnych**. Tu \(4x > 0\) i \(\frac{1}{x} > 0\), więc wszystko gra - ale to trzeba zaznaczyć w rozwiązaniu! **Poprawna odpowiedź:** Nierówność jest spełniona dla każdego \(x>0\); równość zachodzi dla \(x = \dfrac{1}{2}\). ### Sposób 1 - Przekształcenie do kwadratu wyrażenia Zakładamy \(x > 0\). Nierówność \(4x + \dfrac{1}{x} \geqslant 4\) mnożymy przez \(x > 0\) (znak nierówności bez zmian): \[4x^{2} + 1 \geqslant 4x,\] \[4x^{2} - 4x + 1 \geqslant 0,\] \[(2x - 1)^{2} \geqslant 0.\] To jest prawda zawsze (kwadrat liczby rzeczywistej) - nawet \(=0\) dla \(x = \tfrac{1}{2}\). To kończy dowód. \(\blacksquare\) ### Sposób 2 - Średnia arytmetyczna vs geometryczna (AM-GM) Dla dodatnich \(a,b\): \(\dfrac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}\) (równość \(\Leftrightarrow a=b\)). Z \(a = 4x > 0\), \(b = \dfrac{1}{x} > 0\): \[\dfrac{4x + \tfrac{1}{x}}{2} \geqslant \sqrt{4x\cdot \tfrac{1}{x}} = \sqrt{4} = 2.\] \[4x + \dfrac{1}{x} \geqslant 4. \blacksquare\] ### Uwagi o punktacji (CKE) - **1 pkt** - przekształcenie nierówności do \((2x-1)^{2}\geqslant 0\) lub równoważnej (np. obliczenie \(\Delta = 0\) dla trójmianu \(4x^{2}-4x+1\)). - **2 pkt** - pełne, poprawne rozumowanie. - **0 pkt** - sprawdzenie tylko dla konkretnych wartości (tzw. "przykład" nie jest dowodem). **Trik:** W dowodach nierówności szukaj postaci \((\text{wyrażenie})^{2} \geqslant 0\) - to kanon i zawsze działa. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/28) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F28) ## Podobne zadania - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝒂 prawdziwa jest nierówność 𝒂𝟐+ 𝟏𝟔 𝒂≥𝟏𝟐 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Wykaż, że dla każdej liczby - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 prawdziwa jest nierówność 𝑎2 + 16 𝑎≥12 EMAP-R0_100 EMAP-R0_100 - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że 2 2 2 x y , prawdziwa jest nierówność 2 x y ≤ MMA_1R Wypełnia egzaminato - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (3 pkt) Udowodnij, że jeżeli 0 a b   , to prawdziwa jest nierówność 3 3 2 2 a b a b ab    Poziom rozszerzony 13 Udowodnij, że jeżeli a+b >= 0, t _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_