# Matematyka — zadanie 30 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/30 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 2 - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo ## Treść Zadanie 30. (0-2) Ze zbioru liczb { } 1 2 4 5 10 , , , , losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą. Odpowiedź: MMA_1P Ze zbioru liczb 1,2,4,5,10 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(P(A) = \frac{12}{25}\) ## Sposób 1 - Systematyczne wyliczenie par sprzyjających **Przestrzeń zdarzeń elementarnych:** Losujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru \(\{1, 2, 4, 5, 10\}\), więc każda para \((a, b)\) to jedno zdarzenie elementarne: \[|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\] **Szukamy par \((a, b)\), dla których \(\frac{a}{b} \in \mathbb{Z}\), czyli \(b \mid a\) (b dzieli a).** Analizuję każdą możliwą pierwszą liczbę \(a\): | Pierwsza liczba \(a\) | Które \(b \in \{1,2,4,5,10\}\)$ dzielą \(a\)? | Sprzyjające pary | | \(a = 1\) | tylko \(b = 1\): \(\frac{1}{1}=1\) | \((1,1)\) - **1 para** | | \(a = 2\) | \(b = 1\): \(\frac{2}{1}=2\); \(b = 2\): \(\frac{2}{2}=1\) | \((2,1),(2,2)\) - **2 pary** | | \(a = 4\) | \(b=1\): \(\frac{4}{1}=4\); \(b=2\): \(\frac{4}{2}=2\); \(b=4\): \(\frac{4}{4}=1\) | \((4,1),(4,2),(4,4)\) - **3 pary** | | \(a = 5\) | \(b=1\): \(\frac{5}{1}=5\); \(b=5\): \(\frac{5}{5}=1\) | \((5,1),(5,5)\) - **2 pary** | | \(a = 10\) | \(b=1\): \(\frac{10}{1}=10\); \(b=2\): \(\frac{10}{2}=5\); \(b=5\): \(\frac{10}{5}=2\); \(b=10\): \(\frac{10}{10}=1\) | \((10,1),(10,2),(10,5),(10,10)\) - **4 pary** | **Łączna liczba sprzyjających zdarzeń:** \[|A| = 1 + 2 + 3 + 2 + 4 = 12\] **Prawdopodobieństwo:** \[\boxed{P(A) = \frac{12}{25}}\] ## Sposób 2 - Przez uzupełnienie (zdarzenie przeciwne) Łatwiej czasem policzyć, kiedy iloraz **nie jest** liczbą całkowitą, i odjąć od 1. Sprawdzam pary, dla których \(\frac{a}{b} \notin \mathbb{Z}\): - \(a=1\): \(b \in \{2,4,5,10\}\) - **4 pary** nie całkowite - \(a=2\): \(b \in \{4,5,10\}\) - **3 pary** - \(a=4\): \(b \in \{5,10\}\) - **2 pary** - \(a=5\): \(b \in \{2,4,10\}\) - **3 pary** - \(a=10\): \(b \in \{4\}\) - **1 para** (bo \(\frac{10}{4} = 2{,}5\)) \[|A'| = 4 + 3 + 2 + 3 + 1 = 13\] \[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}\] Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] gdzie \(|A|\) to liczba zdarzeń sprzyjających, \(|\Omega|\) to moc przestrzeni zdarzeń elementarnych. Wzór uzupełnienia: \[P(A') = 1 - P(A)\] Użyliśmy go w Sposobie 2, licząc zdarzenie przeciwne. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Losowanie **ze zwracaniem** oznacza, że ta sama liczba może się pojawić dwa razy - para \((2,2)\) jest możliwa! Dlatego \(|\Omega| = 25\), nie \(20\). > ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \(\frac{a}{b}\) musi być liczbą **całkowitą** - nie wystarczy, że jest liczbą wymierną. Para \((2,4)\) daje \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), co **nie jest** liczbą całkowitą. Typowy błąd: zliczenie par, gdzie iloraz jest po prostu "ładny". > ⚠️ **Uwaga:** Kolejność ma znaczenie - para \((2,4)\) i \((4,2)\) to **dwa różne** zdarzenia elementarne. \(\frac{4}{2}=2\) ✓ sprzyjające, ale \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) ✗ nie sprzyjające. **Poprawna odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{12}{25} = 0{,}48\). ### Sposób 1 - Metoda klasyczna (karta wzorów: \(P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}\)) Losujemy parę \((x, y)\) ze zwracaniem ze zbioru 5-elementowego. \(|\Omega| = 5\cdot 5 = 25\). Szukamy par, gdzie \(\dfrac{x}{y} \in \mathbb{Z}\), czyli \(y\) dzieli \(x\): Systematycznie wypisujemy: - \(x=1\): tylko \(y=1\) → \((1,1)\). - \(x=2\): \(y=1,2\) → \((2,1),(2,2)\). - \(x=4\): \(y=1,2,4\) → \((4,1),(4,2),(4,4)\). - \(x=5\): \(y=1,5\) → \((5,1),(5,5)\). - \(x=10\): \(y=1,2,5,10\) → \((10,1),(10,2),(10,5),(10,10)\). Razem: \(1+2+3+2+4 = 12\) par. \[P(A) = \dfrac{12}{25} = 0{,}48.\] ### Sposób 2 - Tabela 5\(\times\)5 Zaznaczamy w tabeli pary, dla których \(\tfrac{x}{y}\) jest całkowite. Naliczamy 12 takich pól z 25. \(P(A) = \tfrac{12}{25}\). ### Uwagi o punktacji (CKE) - **1 pkt** - wyznaczenie \(|\Omega| = 25\) LUB poprawne wypisanie wszystkich sprzyjających par. - **2 pkt** - obliczenie \(P(A) = \tfrac{12}{25} = 0{,}48\). - **Uwagi:** (1) wynik \(\tfrac{7}{20}\) (losowanie bez zwracania) - **1 pkt**. (2) Zmiana kolejności par (pisanie \((1,2)\) zamiast \((2,1)\)) - **2 pkt**. **Trik:** "Iloraz całkowity" = mianownik dzieli licznik. Systematycznie: dla każdego \(x\) wypisz jego dzielniki ze zbioru. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/30) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F30) ## Podobne zadania - [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/11) — Zadanie 11. (5 pkt) Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: A - na każdej kostce wypadnie nie - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-4) Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarni - [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) Egzamin składa się z 15 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający za _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_