# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 31. (0-2)
Dany jest ciąg arytmetyczny (
)
na
, określony dla
1
n ≥, w którym spełniona jest równość
21
24
27
30
100
a
a
a
a
. Oblicz sumę
25
26
a
a
Odpowiedź:

MMA_1P
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla n≥1, w którym spełniona jest równość a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100. Oblicz sumę a_{25} + a_{26}.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: 50

## Sposób 1 - Kluczowa właściwość ciągu arytmetycznego (symetria)

**Obserwacja:** w ciągu arytmetycznym, jeśli dwa indeksy dają tę samą sumę, to odpowiadające wyrazy mają tę samą sumę.

Sprawdźmy sumy indeksów:

\[21 + 30 = 51, \qquad 24 + 27 = 51, \qquad 25 + 26 = 51\]

Wszystkie pary mają tę samą sumę indeksów! Korzystamy z ogólnego wzoru \(a_n = a_1 + (n-1)r\):

\[a_{21} + a_{30} = (a_1 + 20r) + (a_1 + 29r) = 2a_1 + 49r\]
\[a_{24} + a_{27} = (a_1 + 23r) + (a_1 + 26r) = 2a_1 + 49r\]
\[a_{25} + a_{26} = (a_1 + 24r) + (a_1 + 25r) = 2a_1 + 49r\]

**Wszystkie trzy dwójki mają tę samą sumę**, oznaczmy ją \(S\).

Zatem:
\[a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = (a_{21} + a_{30}) + (a_{24} + a_{27}) = S + S = 2S = 100\]

\[\boxed{S = a_{25} + a_{26} = 50}\]

## Sposób 2 - Algebraicznie, przez wyraz środkowy

W ciągu arytmetycznym możemy wyrazić każdy wyraz przez **wyraz środkowy** układu. Zauważamy, że indeksy \(21, 24, 27, 30\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Ich środek to:

\[\frac{21 + 30}{2} = 25{,}5\]

Czyli "środkiem" czterech wyrazów jest punkt pomiędzy \(a_{25}\) a \(a_{26}\). Zapiszmy każdy wyraz przez \(a_{25}\) i \(a_{26}\) (korzystając z różnicy \(r\)):

\[a_{21} = a_{25} - 4r, \qquad a_{30} = a_{26} + 4r\]
\[a_{24} = a_{25} - r, \qquad a_{27} = a_{26} + r\]

Sumujemy:
\[a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30}\]
\[= (a_{25} - 4r) + (a_{25} - r) + (a_{26} + r) + (a_{26} + 4r)\]
\[= 2a_{25} + 2a_{26} + (-4r - r + r + 4r)\]
\[= 2(a_{25} + a_{26}) + 0 = 100\]

\[\boxed{a_{25} + a_{26} = 50}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy go do rozpisania poszczególnych wyrazów w Sposobie 2.

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność "średniej arytmetycznej":
\[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\]
To jest szczególny przypadek ogólniejszej zasady: jeśli \(i + j = k + l\), to \(a_i + a_j = a_k + a_l\). Tej własności użyliśmy w Sposobie 1.

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać \(a_1\) ani \(r\) - zadanie jest rozwiązywalne bez nich. Jeśli próbujesz wyznaczyć oba te parametry oddzielnie, to błędna droga (masz jedno równanie z dwiema niewiadomymi).

> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe spostrzeżenie to: \(21 + 30 = 24 + 27 = 25 + 26 = 51\). Jeśli tego nie zauważysz, rozwiązanie algebraiczne (Sposób 2) zawsze działa - różnice \(r\) znoszą się symetrycznie.

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić sumę czterech wyrazów z sumą pary - wynik \(2S = 100\) daje \(S = 50\), nie \(S = 100\).

**Poprawna odpowiedź:** \(a_{25} + a_{26} = 50\).

### Sposób 1 - Zapis każdego wyrazu względem \(a_{25}, a_{26}\) (karta wzorów: \(a_{n} = a_{k} + (n-k)r\))
Wyrażamy podane wyrazy poprzez \(a_{25}\) i \(a_{26}\) (różnica ciągu \(= r\)):
- \(a_{21} = a_{25} - 4r\),
- \(a_{24} = a_{25} - r\) (lub \(a_{26} - 2r\)),
- \(a_{27} = a_{26} + r\),
- \(a_{30} = a_{26} + 4r\).

Suma:
\[a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30} = (a_{25}-4r)+(a_{25}-r)+(a_{26}+r)+(a_{26}+4r) = 2a_{25}+2a_{26} = 2(a_{25}+a_{26}).\]

Zatem \(2(a_{25}+a_{26}) = 100\), czyli \(\boxed{a_{25}+a_{26}=50}\).

### Sposób 2 - Symetria indeksów
Zauważmy, że pary indeksów są "symetryczne" względem środka \(\tfrac{25+26}{2}=25{,}5\):
- \(21\) i \(30\): suma indeksów \(= 51\);
- \(24\) i \(27\): suma indeksów \(= 51\);
- \(25\) i \(26\): suma indeksów \(= 51\).

W ciągu arytmetycznym: jeśli \(m+n = p+q\), to \(a_{m}+a_{n} = a_{p}+a_{q}\).

Stąd \(a_{21}+a_{30} = a_{24}+a_{27} = a_{25}+a_{26}\). Suma wszystkich czterech \(=2(a_{25}+a_{26})=100\) → \(a_{25}+a_{26}=50\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 pkt** - zapis równości w postaci równoważnej (np. \(a_{25}+a_{26}+a_{25}+a_{26}=100\) lub \(4a_{1}+98r=100\)).
- **2 pkt** - pełne rozwiązanie: \(a_{25}+a_{26}=50\).
- **0 pkt** - jeśli zapisano tylko \(a_{25}+a_{26}=50\) bez uzasadnienia; pomyłka z ciągiem geometrycznym.

**Trik:** W ciągu arytmetycznym wyrazy o symetrycznych indeksach mają stałą sumę - to klucz do "sprytnych" zadań.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_