# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 32. (0-4)
Funkcja kwadratowa
( )
2
f x
ax
bx
c
ma dwa miejsca zerowe
1
2
x = - i
2
6
x =
. Wykres
funkcji f przechodzi przez punkt
(
)
1,
5
A =
. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f.

MMA_1P
Odpowiedź:

MMA_1P
Funkcja kwadratowa f(x) = ax^2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe x_1 = -2 i x_2=6. Wykres funkcji f przechodzi przez punkt A=(1,-5). Oblicz najmniejszą wartość funkcji f.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(-\dfrac{16}{3}\)

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) wynosi \(\boldsymbol{-\dfrac{16}{3}}\).

## Sposób 1 - postać iloczynowa

**Od czego zaczynamy:** Znamy oba miejsca zerowe, więc możemy od razu zapisać funkcję w postaci iloczynowej.

Postać iloczynowa:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x - (-2))(x - 6) = a(x + 2)(x - 6)\]

**Wyznaczamy \(a\)** - korzystamy z warunku, że wykres przechodzi przez \(A = (1, -5)\), czyli \(f(1) = -5\):
\[f(1) = a(1 + 2)(1 - 6) = a \cdot 3 \cdot (-5) = -15a\]
\[-15a = -5\]
\[a = \frac{1}{3}\]

**Piszemy ostateczną postać funkcji:**
\[f(x) = \frac{1}{3}(x + 2)(x - 6)\]

Ponieważ \(a = \frac{1}{3} > 0\), parabola jest skierowana ramionami ku górze - **funkcja ma minimum** (najniższy punkt to wierzchołek).

**Wyznaczamy wierzchołek:** Oś symetrii paraboli przebiega w połowie odległości między miejscami zerowymi:
\[p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

**Najmniejsza wartość funkcji:**
\[f(2) = \frac{1}{3}(2 + 2)(2 - 6) = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (-4) = \frac{-16}{3}\]

**Wynik: Najmniejsza wartość funkcji \(f\) to \(\boldsymbol{-\dfrac{16}{3}}\).**

## Sposób 2 - postać ogólna i wzór na wierzchołek

Rozwijamy postać iloczynową (z wyznaczonym wcześniej \(a = \frac{1}{3}\)):
\[f(x) = \frac{1}{3}(x + 2)(x - 6) = \frac{1}{3}(x^2 - 4x - 12) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 4\]

Mamy więc: \(a = \frac{1}{3}\), \(b = -\frac{4}{3}\), \(c = -4\).

**Wyznaczamy wierzchołek wzorem:**
\[p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = 2\]

**Obliczamy \(\Delta\):**
\[\Delta = b^2 - 4ac = \left(-\frac{4}{3}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-4) = \frac{16}{9} + \frac{16}{3} = \frac{16}{9} + \frac{48}{9} = \frac{64}{9}\]

**Minimalna wartość (rzędna wierzchołka):**
\[q = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{\frac{64}{9}}{4 \cdot \frac{1}{3}} = -\frac{\frac{64}{9}}{\frac{4}{3}} = -\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{192}{36} = -\frac{16}{3}\]

**Wynik zgodny: \(\boldsymbol{-\dfrac{16}{3}}\).** ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**

1. **Postać iloczynowa** (gdy \(\Delta \geq 0\)):
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 - znając miejsca zerowe, od razu zapisaliśmy funkcję.

2. **Wierzchołek paraboli:**
\[p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a}\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia minimalnej wartości funkcji.

3. **Wyróżnik:**
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
Użyliśmy w Sposobie 2 przy wyznaczaniu rzędnej wierzchołka.

4. **Wzory Viète'a** (pomocniczo do zrozumienia struktury zadania):
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to założenie \(a = 1\) bez wyznaczenia go z punktu \(A\). Zawsze musisz skorzystać z dodatkowego warunku (tu: punkt \(A\)), żeby wyznaczyć \(a\)!

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy parabola ma dwa miejsca zerowe, oś symetrii (i wierzchołek) leżą **dokładnie w połowie** między nimi. Wzór \(p = \frac{x_1 + x_2}{2}\) jest tu najszybszy - nie trzeba liczyć \(\Delta\).

> ⚠️ **Uwaga:** Minimalna wartość funkcji to **wartość \(f(p)\)**, czyli rzędna wierzchołka \(q\) - nie mylić z odciętą wierzchołka \(p\)! Tu \(p = 2\) (gdzie jest minimum), a \(q = -\frac{16}{3}\) (jak małe jest to minimum).

**Poprawna odpowiedź:** najmniejsza wartość funkcji \(= -\dfrac{16}{3}\).

### Sposób 1 - Postać iloczynowa i wyznaczenie \(a\)
Znamy miejsca zerowe, więc \(f(x) = a(x-x_{1})(x-x_{2}) = a(x+2)(x-6)\).

Podstawiamy punkt \(A=(1,-5)\):
\[-5 = a(1+2)(1-6) = a\cdot 3\cdot(-5) = -15a \Rightarrow a = \dfrac{1}{3}.\]

Funkcja: \(f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2)(x-6)\).

Najmniejsza wartość (karta wzorów): osiągana w wierzchołku, \(x_{0} = \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} = \dfrac{-2+6}{2} = 2\).

\[f(2) = \dfrac{1}{3}(2+2)(2-6) = \dfrac{1}{3}\cdot 4\cdot (-4) = -\dfrac{16}{3}.\]

### Sposób 2 - Postać ogólna i rozwiązanie układu
Układ trzech równań:
\[a(-2)^{2} + b(-2) + c = 0 \Rightarrow 4a - 2b + c = 0,\]
\[a\cdot 36 + 6b + c = 0,\]
\[a + b + c = -5.\]

Odejmując pierwsze od drugiego: \(32a + 8b = 0 \Rightarrow b = -4a\).

Z pierwszego: \(c = -4a + 2b = -4a - 8a = -12a\).

Podstawiając do trzeciego: \(a + (-4a) + (-12a) = -5 \Rightarrow -15a = -5 \Rightarrow a = \tfrac{1}{3}\), \(b = -\tfrac{4}{3}\), \(c = -4\).

Wierzchołek: \(x_{0} = -\tfrac{b}{2a} = -\tfrac{-4/3}{2/3} = 2\).

\[f(2) = \tfrac{1}{3}\cdot 4 - \tfrac{4}{3}\cdot 2 - 4 = \tfrac{4}{3} - \tfrac{8}{3} - 4 = -\tfrac{4}{3} - 4 = -\tfrac{16}{3}.\]

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 pkt** - np. zapis \(f(x) = a(x-6)(x+2)\) lub wyznaczenie \(p=2\) lub układ 3 równań.
- **2 pkt** - wyznaczenie \(a = \tfrac{1}{3}\) lub pełnych współczynników \(a,b,c\).
- **3 pkt** - wszystkie współczynniki + pierwsza współrzędna wierzchołka.
- **4 pkt** - końcowa wartość \(f_\text{min} = -\tfrac{16}{3}\).

**Trik:** Postać iloczynowa \(f(x) = a(x-x_{1})(x-x_{2})\) jest najkrótszą drogą, gdy znasz miejsca zerowe.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Liczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu 30 2 ) ( 2 3 bx ax x x W a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek te
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (5 pkt) Wykres funkcji f danej wzorem ( ) 2 2 f x x przesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymuj
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (5 pkt) Wyznacz dziedzinę funkcji ( ) ( ) log 4 12 2 32 x x x f x = ⋅ 5 Arkusz II

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_