# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria

## Treść

Zadanie 33. (0-4)
Punkt
(
)
0,0
C =
jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży
na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego
trójkąta opuszczoną z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie
(
)
3,4
D =
Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB.

MMA_1P
Odpowiedź:

MMA_1P
Punkt C = (0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D=(3,4). Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź

Zadanie otwarte obliczeniowe. Wynik końcowy:

\[A = \left(\frac{25}{3},\ 0\right), \quad B = \left(0,\ \frac{25}{4}\right), \quad |AB| = \frac{125}{12}\]

## Sposób 1 - Warunki prostopadłości i współliniowości

**Oznaczenia.** Niech \(A = (a, 0)\) gdzie \(a > 0\) oraz \(B = (0, b)\) gdzie \(b > 0\). Kąt prosty jest w wierzchołku \(C = (0, 0)\), bo nogi leżą wzdłuż osi.

**Krok 1 - warunek \(CD \perp AB\).**

Wektor \(\overrightarrow{CD} = (3, 4)\) (od \(C=(0,0)\) do \(D=(3,4)\)).

Wektor \(\overrightarrow{AB} = (-a, b)\).

Dla prostopadłości iloczyn skalarny musi być równy zero:
\[\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \implies 3 \cdot (-a) + 4 \cdot b = 0 \implies -3a + 4b = 0\]

\[\boxed{3a = 4b} \quad \text{(I)}\]

**Krok 2 - warunek \(D \in AB\).**

Równanie prostej \(AB\) (odcinkowe):
\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]

Podstawiamy \(D = (3, 4)\):
\[\frac{3}{a} + \frac{4}{b} = 1 \quad \text{(II)}\]

**Krok 3 - rozwiązanie układu.**

Z równania (I): \(a = \frac{4b}{3}\). Podstawiamy do (II):

\[\frac{3}{\frac{4b}{3}} + \frac{4}{b} = 1 \implies \frac{9}{4b} + \frac{4}{b} = 1 \implies \frac{9}{4b} + \frac{16}{4b} = 1 \implies \frac{25}{4b} = 1\]

\[b = \frac{25}{4}\]

\[a = \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{4} = \frac{25}{3}\]

**Krok 4 - długość przeciwprostokątnej.**

\[|AB| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\left(\frac{25}{3}\right)^2 + \left(\frac{25}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{625}{9} + \frac{625}{16}} = 25\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{16}}\]

\[= 25\sqrt{\frac{16 + 9}{144}} = 25\sqrt{\frac{25}{144}} = 25 \cdot \frac{5}{12} = \frac{125}{12}\]

**Wynik:**
\[\mathbf{A = \left(\frac{25}{3},\ 0\right), \quad B = \left(0,\ \frac{25}{4}\right), \quad |AB| = \frac{125}{12}}\]

## Sposób 2 - Parametryzacja prostej AB przez punkt D

To elegantszy sposób - od razu konstruujemy prostą \(AB\) i szukamy przecięć z osiami.

**Krok 1 - kierunek prostej AB.**

Prosta \(AB\) jest prostopadła do wysokości \(CD\). Wektor \(\overrightarrow{CD} = (3, 4)\), więc wektor kierunkowy \(AB\) jest prostopadły do \((3,4)\):

\[\vec{v}_{AB} = (4, -3)\]

(obrócony o 90°: zamieniamy współrzędne i zmieniamy znak jednej z nich)

**Krok 2 - równanie parametryczne prostej AB.**

Prosta \(AB\) przechodzi przez \(D = (3, 4)\) z kierunkiem \((4, -3)\):
\[\begin{cases} x = 3 + 4t \\ y = 4 - 3t \end{cases}\]

**Krok 3 - wyznaczenie A (przecięcie z osią Ox, \(y = 0\)).**

\[4 - 3t = 0 \implies t = \frac{4}{3}\]

\[x_A = 3 + 4 \cdot \frac{4}{3} = 3 + \frac{16}{3} = \frac{9 + 16}{3} = \frac{25}{3}\]

\[\mathbf{A = \left(\frac{25}{3},\ 0\right)}\]

**Krok 4 - wyznaczenie B (przecięcie z osią Oy, \(x = 0\)).**

\[3 + 4t = 0 \implies t = -\frac{3}{4}\]

\[y_B = 4 - 3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = 4 + \frac{9}{4} = \frac{16 + 9}{4} = \frac{25}{4}\]

\[\mathbf{B = \left(0,\ \frac{25}{4}\right)}\]

**Krok 5 - weryfikacja i długość AB.**

Sprawdzam, czy \(CD \perp AB\):
\[\overrightarrow{CD} \cdot \vec{v}_{AB} = (3)(4) + (4)(-3) = 12 - 12 = 0\ ✓\]

\[|AB| = \sqrt{\left(\frac{25}{3}\right)^2 + \left(\frac{25}{4}\right)^2} = \frac{125}{12}\ ✓\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**

Długość odcinka:
\[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
Użyte w Kroku 4 obu sposobów do obliczenia długości przeciwprostokątnej.

Warunek prostopadłości prostych (przez iloczyn skalarny wektorów kierunkowych):
\[\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0\]
Użyte w Sposobie 1 (Krok 1) do zapisania warunku \(CD \perp AB\).

Równanie prostej przez dwa punkty (odcinkowe):
\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]
Użyte w Sposobie 1 (Krok 2) do zapisu równania \(AB\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Prosta AB jest prostopadła do wysokości CD - nie do odcinka CD! Wektor kierunkowy AB to **obrót** wektora \((3,4)\) o 90°, czyli \((4,-3)\), **nie** \((-4,3)\) (obie wersje są poprawne, bo to ta sama prosta).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(|AB|\) łatwo zapomnieć wyciągnąć \(25\) przed pierwiastek. \(\sqrt{\frac{625}{9} + \frac{625}{16}} = 25\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{16}}\) - ten krok bardzo upraszcza rachunki.

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest **w \(C\)**, bo nogi leżą wzdłuż osi układu (CA na osi Ox, CB na osi Oy). Nie mylić z kątem prostym przy \(D\) - kąt przy \(D\) jest prostý tylko dlatego, że \(D\) jest podstawą wysokości.

**Poprawna odpowiedź:** \(A = \left(\dfrac{25}{3}, 0\right)\), \(B = \left(0, \dfrac{25}{4}\right)\), \(|AB| = \dfrac{125}{12} = 10\dfrac{5}{12}\).

### Sposób 1 - Równanie prostej \(AB\) prostopadłej do \(CD\)
Współczynnik kierunkowy prostej \(CD\) (karta wzorów):
\[a_{CD} = \dfrac{y_{D}-y_{C}}{x_{D}-x_{C}} = \dfrac{4}{3}.\]

Prosta \(AB\) prostopadła do \(CD\): \(a_{AB} = -\dfrac{1}{a_{CD}} = -\dfrac{3}{4}\).

Prosta \(AB\) przechodzi przez \(D=(3,4)\):
\[y = -\dfrac{3}{4}(x-3) + 4 = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{4}.\]

**Punkt \(B\) (na osi \(Oy\), \(x=0\)):** \(y = \dfrac{25}{4}\), czyli \(B = \left(0, \dfrac{25}{4}\right)\).

**Punkt \(A\) (na osi \(Ox\), \(y=0\)):** \(0 = -\tfrac{3}{4}x + \tfrac{25}{4} \Rightarrow x = \dfrac{25}{3}\), czyli \(A = \left(\dfrac{25}{3}, 0\right)\).

**Długość \(AB\):**
\[|AB| = \sqrt{\left(\dfrac{25}{3}\right)^{2} + \left(\dfrac{25}{4}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{625}{9} + \dfrac{625}{16}} = \sqrt{625\cdot\dfrac{16+9}{144}} = \sqrt{625\cdot\dfrac{25}{144}} = \dfrac{25\cdot 5}{12} = \dfrac{125}{12}.\]

### Sposób 2 - Własności wysokości trójkąta prostokątnego
\(|CD| = \sqrt{9+16} = 5\). Z twierdzenia Pitagorasa w \(\triangle ACD\) i \(\triangle BCD\):
\[|AD|^{2} + 25 = |AC|^{2}, \quad |BD|^{2} + 25 = |BC|^{2}.\]

Albo (sprytniej): wysokość \(CD\) prostokąta \(ABC\) spełnia \(|AD|\cdot |DB| = |CD|^{2} = 25\), i dalej liczymy przez trygonometrię.

Końcowy wynik: \(|AB| = \tfrac{125}{12}\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 pkt** - obliczenie \(a_{CD} = \tfrac{4}{3}\).
- **2 pkt** - zapis równania prostej \(AB\): \(y = -\tfrac{3}{4}(x-3)+4\).
- **3 pkt** - wyznaczenie obu wierzchołków \(A, B\).
- **4 pkt** - obliczenie \(|AB| = \tfrac{125}{12} = 10\tfrac{5}{12}\).

**Trik:** Wysokość z kąta prostego jest **prostopadła** do przeciwprostokątnej - to zamienia problem geometryczny w algebrę wektorów.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝐴= (9, 12) jest wierzchołkiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 1 2 𝑥 zawiera dwusieczną

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_