# Matematyka — zadanie 34 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/34 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 5 - działy: Stereometria, planimetria ## Treść Zadanie 34. (0-5) Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC , w którym 90 ° ACB (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4 : 3. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa. C B A S D E F MMA_1P Odpowiedź: MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∠ ACB| = 90° (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4:3. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: **160** Hmm, zanim napiszę - policzę dokładnie. To zadanie otwarte, obliczmy objętość krok po kroku. ## Sposób 1 - Właściwość okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym **Krok 1: Wyznacz wymiary podstawy.** W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy C środek okręgu opisanego leży na środku przeciwprostokątnej AB. Zatem: \[SC = SA = SB = R\] gdzie \(R\) to promień okręgu opisanego. Skoro \(|SC| = 5\), to \(R = 5\), a zatem: \[|AB| = 2R = 10\] **Krok 2: Wyznacz długości przyprostokątnych.** Ze stosunku \(|AC| : |BC| = 4 : 3\) przyjmijmy \(|AC| = 4k\), \(|BC| = 3k\). Z twierdzenia Pitagorasa: \[|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2\] \[(4k)^2 + (3k)^2 = 10^2\] \[16k^2 + 9k^2 = 100\] \[25k^2 = 100 \implies k^2 = 4 \implies k = 2\] Zatem: \[|AC| = 8, \quad |BC| = 6\] **Krok 3: Wyznacz wysokość graniastosłupa ze ściany bocznej BEFC.** Ściana BEFC to prostokąt, którego podstawą jest krawędź \(BC\), a wysokością jest wysokość graniastosłupa \(h\). Zatem: \[P_{BEFC} = |BC| \cdot h = 6h = 48\] \[\boxed{h = 8}\] **Krok 4: Pole podstawy trójkąta ABC.** \[P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\] **Krok 5: Objętość graniastosłupa.** \[V = P_{ABC} \cdot h = 24 \cdot 8 = \boxed{192}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie spójności danych Sprawdzamy, czy wyznaczone dane są ze sobą spójne: - \(|AB| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\) ✓ - Środek S okręgu opisanego = środek AB, więc \(|SC|\) to odległość od środka AB do C. Współrzędnie: \(A = (0,8)\), \(B = (6, 0)\), \(C = (0, 0)\). \[S = \left(\frac{0+6}{2}, \frac{8+0}{2}\right) = (3, 4)\] \[|SC| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \checkmark\] Pole ściany BEFC: \[P_{BEFC} = |BC| \cdot h = 6 \cdot 8 = 48 \checkmark\] Objętość: \[V = 24 \cdot 8 = \mathbf{192}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyte w Kroku 2 do wyznaczenia \(k\) z przeciwprostokątnej \(|AB| = 10\). **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\] Dla trójkąta prostokątnego: \(P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC|\). Użyte w Kroku 4. **Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - własność okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym: > Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej, a promień \(R = \frac{c}{2}\). Kluczowy fakt użyty w Kroku 1: \(|SC| = R = 5 \Rightarrow |AB| = 10\). **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość graniastosłupa: \[V = P_p \cdot h\] Użyte w Kroku 5. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Najważniejszy krok to rozpoznanie, że S (środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym) leży dokładnie w środku przeciwprostokątnej. Bez tego faktu nie wyznaczymy AB = 10. Wielu uczniów szuka S innymi metodami i się gubi. > ⚠️ **Uwaga:** Ściana BEFC to ściana boczna przy krawędzi BC (długość 6), nie przy AC (długość 8). Pomylenie tych krawędzi daje \(h = 6\) zamiast \(h = 8\) i błędną objętość 144. > ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \(4:3\) to stosunek długości, nie pól. Łatwo wpaść w pułapkę i przyjąć \(|AC| = 4\), \(|BC| = 3\) bez przemnożenia przez \(k\) - wtedy \(|AB| = 5 \neq 10\) i wszystko się sypie. **Poprawna odpowiedź:** \(V = 192\). ### Sposób 1 - Krok po kroku (karta wzorów: \(V = P_{p} \cdot H\)) **Krok 1. Długość przeciwprostokątnej \(AB\).** W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej, a promień = połowa przeciwprostokątnej: \[|SC| = |SA| = |SB| = 5 \Rightarrow |AB| = 2\cdot 5 = 10.\] **Krok 2. Długości przyprostokątnych.** Niech \(|AC| = 4x\), \(|BC| = 3x\) (stosunek \(4:3\)). Z tw. Pitagorasa: \[(4x)^{2} + (3x)^{2} = 10^{2},\] \[16x^{2} + 9x^{2} = 100,\] \[25x^{2} = 100 \Rightarrow x = 2.\] Zatem \(|AC| = 8\), \(|BC| = 6\). **Krok 3. Wysokość graniastosłupa \(H = |BE|\) z pola ściany \(BEFC\).** Ściana \(BEFC\) to prostokąt o bokach \(|BC| = 6\) i \(|BE| = H\): \[6 \cdot H = 48 \Rightarrow H = 8.\] **Krok 4. Pole podstawy i objętość.** Pole trójkąta \(ABC\): \(P = \dfrac{1}{2}\cdot |AC|\cdot |BC| = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 6 = 24\). \[V = P\cdot H = 24\cdot 8 = \boxed{192.}\] ### Sposób 2 - Rozpoznanie trójki pitagorejskiej \((6,8,10)\) Skoro \(|AB|=10\) i stosunek przyprostokątnych \(4:3\), natychmiast rozpoznajemy trójkę \((6,8,10) = 2\cdot (3,4,5)\). Dalej identycznie: \(H=8\), \(P=24\), \(V=192\). ### Uwagi o punktacji (CKE) - **1 pkt** - obliczenie \(|AB| = 10\) LUB zapis \(|AC| = 4x\), \(|BC| = 3x\). - **2 pkt** - zapis równania \((3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}\) lub układu. - **3 pkt** - obliczenie wszystkich boków trójkąta \(ABC\). - **4 pkt** - obliczenie wysokości graniastosłupa \(H=8\). - **5 pkt** - końcowa objętość \(V = 192\). **Trik:** Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym = środek przeciwprostokątnej. Trójka \((3,4,5)\) (i jej wielokrotności) zawsze warto mieć w głowie. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/34) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F34) ## Podobne zadania - [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) Podstawą graniastosłupa prostego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 jest trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, |𝐴𝐵| = 8. Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶, poprowadzona z - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nac - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (5 pkt) Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD granias - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-4) Odcinek 𝐴𝐷 jest wysokością walca, a odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą podstawy walca. Odcinek 𝐵𝐷 ma długość 4√3. Miara kąta 𝐴𝐵𝐷 jest równa 30° (zobacz _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_