# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek: \(11 \leq 2x - 7 \leq 15\).

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-174/z6.png

A. półproste \((-\infty, -11\rangle\) i \(\langle -9, +\infty)\)
B. półproste \((-\infty, 9\rangle\) i \(\langle 11, +\infty)\)
C. przedział \(\langle -11, -9 \rangle\)
D. przedział \(\langle 9, 11 \rangle\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - przedział \(\langle 9, 11 \rangle\)

## Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności podwójnej

Mamy nierówność podwójną:
\[11 \leqslant 2x - 7 \leqslant 15\]

Rozwiązujemy ją, wykonując **te same działania na wszystkich trzech częściach** jednocześnie.

**Krok 1:** Dodaj \(7\) do każdej części:
\[11 + 7 \leqslant 2x - 7 + 7 \leqslant 15 + 7\]
\[18 \leqslant 2x \leqslant 22\]

**Krok 2:** Podziel każdą część przez \(2\):
\[\frac{18}{2} \leqslant \frac{2x}{2} \leqslant \frac{22}{2}\]
\[9 \leqslant x \leqslant 11\]

**Wynik:** \(x \in \langle 9, 11 \rangle\)

To domknięty przedział, bo obie nierówności są nieostre (\(\leqslant\)). Odpowiedź **D**.

## Sposób 2 - Rozwiązanie przez dwie osobne nierówności

Nierówność podwójną można rozbić na dwa warunki jednocześnie:

**Warunek 1:** \(11 \leqslant 2x - 7\)
\[11 + 7 \leqslant 2x \implies 18 \leqslant 2x \implies x \geqslant 9\]

**Warunek 2:** \(2x - 7 \leqslant 15\)
\[2x \leqslant 15 + 7 \implies 2x \leqslant 22 \implies x \leqslant 11\]

Oba warunki muszą być spełnione **jednocześnie** (iloczyn zbiorów):
\[x \geqslant 9 \quad \text{i} \quad x \leqslant 11 \implies x \in \langle 9, 11 \rangle\]

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowych przekształceń nierówności (dodawanie tej samej liczby do obu stron, dzielenie przez liczbę dodatnią).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Wyniki \(-11\) i \(-9\) - uczeń **odjął** 7 zamiast dodać (lub popełnił błąd znaku) |
| B | Wyniki \(9\) i \(11\) prawidłowe, ale zaznaczono **dopełnienie** przedziału (dwa ramiona) zamiast przedziału domkniętego - mylenie rozwiązania nierówności z wartością bezwzględną |
| C | Wyniki \(-11\) i \(-9\) - błąd znaku jak w A, dodatkowo jeszcze wybór przedziału zamiast półprostych |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności podwójnej musisz wykonywać **dokładnie to samo działanie na wszystkich trzech częściach** - lewej, środkowej i prawej. Nie wolno np. dodać do jednej części a pominąć innej.

> ⚠️ **Uwaga:** Nierówności nieostre (\(\leqslant\)) oznaczają **przedział domknięty** - końce przedziału należą do zbioru rozwiązań. Na rysunku to zaznaczone **wypełnionymi kropkami**.

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B ma te same liczby (\(9\) i \(11\)), ale przedstawia **dwie półproste** - to byłoby rozwiązanie nierówności \(|x - 10| \geqslant 1\), a nie naszej nierówności podwójnej. Nie daj się zmylić znajomymi liczbami!

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Rozwiązanie podwójnej nierówności
Dodajemy \(7\) do wszystkich trzech stron, a potem dzielimy przez \(2\):
\[11 \leqslant 2x - 7 \leqslant 15 \;\big/ +7\]
\[18 \leqslant 2x \leqslant 22 \;\big/ :2\]
\[9 \leqslant x \leqslant 11.\]
Zbiór rozwiązań: \(\langle 9, 11\rangle\) - przedział domknięty (pełne kropki) - **rysunek D**.

### Sposób 2 - Rozbicie na dwie nierówności
1) \(2x - 7 \geqslant 11 \Rightarrow 2x \geqslant 18 \Rightarrow x \geqslant 9.\)

2) \(2x - 7 \leqslant 15 \Rightarrow 2x \leqslant 22 \Rightarrow x \leqslant 11.\)

Część wspólna: \(9 \leqslant x \leqslant 11\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((-\infty,-11\rangle \cup \langle -9,+\infty)\)** - pomylono kierunki nierówności i znak (czytanie "poza" zamiast "pomiędzy").
- **B. \((-\infty,9\rangle \cup \langle 11,+\infty)\)** - dobre liczby graniczne, ale odwrócony zbiór (\(\vee\) zamiast \(\wedge\)).
- **C. \(\langle -11,-9\rangle\)** - pomylono znaki przy dodawaniu \(7\) (odjęto zamiast dodać).

**Trik:** Podwójna nierówność \(A \leqslant f(x) \leqslant B\) to zawsze **przedział**, nie dwie półproste.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6) — Dana jest nierówność Wybierz /matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2505/z6.png , na którym poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywisty
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Dana jest nierówność Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz wła
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/17) — Zadanie 17. (0-1) Dana jest nierówność 2𝑥-1 2 -𝑥+ 2 3 ≥1 6 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniaj
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Dana jest nierówność \(\geq\) 3 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_