# Matematyka — zadanie 7

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/7
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Układy równań, planimetria

## Treść

Zadanie 7. (0-1)
Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości a i b jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest
o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
A.
(
)
2
60
10
a
b
a
b
+

B.
2
60
10
a
b
b
a



C.
2
60
10
ab
a
b

-

D.
(
)
2
60
10
a
b
a
b


Obwód prostokąta o bokach długości „a” i „b” jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta. Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta? A. 2(a+b)=60; a+10=b; B. 2a+b=60; 10b=a; C. 2ab=60; a-b=10; D. 2(a+b)=60; 10a=b.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

## Sposób 1 - Tłumaczenie treści na język matematyki

Zadanie prosi, żebyśmy **przetłumaczyli** opis słowny na układ równań. Robimy to zdanie po zdaniu.

**Zdanie 1:** "Obwód prostokąta o bokach \(a\) i \(b\) jest równy 60."

Wzór na obwód prostokąta to \(2(a + b)\), więc:
\[2(a + b) = 60\]

**Zdanie 2:** "Jeden z boków jest o 10 dłuższy od drugiego."

"Bок \(b\) jest o 10 dłuższy od boku \(a\)" oznacza, że do \(a\) dokładamy 10 i dostajemy \(b\):
\[a + 10 = b\]

**Razem:** dostajemy układ:
\[\begin{cases} 2(a+b) = 60 \\ a + 10 = b \end{cases}\]

To dokładnie **odpowiedź A**.

## Sposób 2 - Weryfikacja: czy układ A daje sensowne wyniki?

Sprawdźmy, że układ A prowadzi do poprawnego rozwiązania.

Z drugiego równania: \(b = a + 10\). Podstawiamy do pierwszego:
\[2(a + a + 10) = 60\]
\[2(2a + 10) = 60\]
\[4a + 20 = 60\]
\[4a = 40\]
\[a = 10\]

Stąd \(b = 10 + 10 = 20\).

**Sprawdzenie:** obwód \(= 2(10 + 20) = 2 \cdot 30 = 60\) ✓, bок \(b\) jest o \(10\) dłuższy od \(a\) ✓

Układ A działa poprawnie.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja obwodu prostokąta (\(L = 2(a+b)\)) i umiejętność zapisu zależności słownej jako równania.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | Pierwsze równanie to \(2a + b = 60\) - błędny wzór na obwód (zapomniano pomnożyć \(b\) przez 2). Drugie równanie \(10b = a\) nie ma sensu w tym kontekście. |
| C | Pierwsze równanie to \(2ab = 60\) - zamiast obwodu wyliczono **pole** (i to jeszcze niepoprawnie, bo pole to \(ab\), nie \(2ab\)). |
| D | Pierwsze równanie poprawne, ale drugie \(10a = b\) oznacza, że jeden bok jest **dziesięciokrotnie** dłuższy od drugiego - a nie o 10 dłuższy. |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** "O 10 dłuższy" to \(b = a + 10\), a nie \(b = 10a\). To dodawanie, nie mnożenie! Odpowiedź D kusi, bo wygląda podobnie do A.

> ⚠️ **Uwaga:** Obwód prostokąta to \(2(a+b)\), nie \(a + b\), nie \(2a + b\), nie \(2ab\). Każdy bok liczymy dwa razy, bo prostokąt ma **dwie pary** równoległych boków.

> ⚠️ **Uwaga:** W tego typu zadaniach nie musisz rozwiązywać układu - pytanie dotyczy tylko **zapisu**. Czytaj treść zdanie po zdaniu i przekładaj na równania.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Zapisanie warunków z treści zadania
Obwód prostokąta (karta wzorów): \(Ob = 2(a+b)\). Warunek: \(2(a+b) = 60\).

Jeden bok o 10 dłuższy od drugiego: bok \(b\) jest większy, więc \(b = a + 10\), czyli \(a + 10 = b\).

\[\begin{cases} 2(a+b) = 60 \\ a + 10 = b \end{cases}\]

### Sposób 2 - Weryfikacja rozwiązania układu
Z A: \(a + b = 30\) i \(b = a+10\), więc \(a + a + 10 = 30 \Rightarrow a = 10, b = 20\).

Sprawdzenie: obwód \(= 2(10+20) = 60\) ✓; różnica \(20-10=10\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B.** \(2a + b = 60\) nie jest wzorem na obwód prostokąta; \(10b = a\) oznaczałoby "jeden bok 10 razy większy".
- **C.** \(2ab = 60\) to nie obwód - wygląda jak pole podwojone. \(a-b=10\) też OK, ale pierwsze równanie psuje całość.
- **D.** Obwód OK, ale \(10a = b\) oznacza "dziesięciokrotność", nie "o 10 większy".

**Trik:** "O 10 dłuższy" = **dodawanie** (\(+10\)), a nie mnożenie przez \(10\). Zawsze tłumacz słowa na dokładny znak działania.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/7)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F7)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi % 60 liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Suma dwóch liczb jest równa 7 , a ich różnica 3 . Oblicz iloczyn tych liczb. Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Poziom podstawowy 5
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/20) — Zadanie 20. (0-3) W wyborach na przewodniczącego klasy kandydowało troje uczniów: Jacek, Helena i Grzegorz. Każdy uczeń tej klasy oddał jeden ważny głos. Jacek 
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więce

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_