# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 8. (0-1)
Rozwiązaniem równania
1
3
2
x
x
, gdzie
2
x ≠-, jest liczba należąca do przedziału
A. (
)
2,1
B.
)
1, + ∞
C. (
)
, 5
-∞-
D.
)
5,
2
Rozwiązaniem równania x+1 / x+2 = 3, gdzie x ≠ -2, jest liczba należąca do przedziału A. (-2,1); B. <1,+∞); C. (-∞,-5); D. <-5,-2>.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(\langle -5, -2)\)

## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik

Mamy równanie:
\[\frac{x+1}{x+2} = 3, \quad x \neq -2\]

**Krok 1:** Mnożymy obie strony przez \((x+2)\) (wiemy, że \(x+2 \neq 0\), więc możemy to zrobić):
\[(x+1) = 3(x+2)\]

**Krok 2:** Rozwijamy prawą stronę:
\[x + 1 = 3x + 6\]

**Krok 3:** Przenosimy \(x\) na prawą, liczby na lewą:
\[1 - 6 = 3x - x\]
\[-5 = 2x\]

**Krok 4:** Dzielimy przez 2:
\[x = -\frac{5}{2} = -2{,}5\]

**Sprawdzamy założenie:** \(x = -2{,}5 \neq -2\) ✓

**Teraz ustalamy, do którego przedziału należy \(x = -2{,}5\):**

\[-2{,}5 \in \langle -5, -2)\], bo \(-5 \leq -2{,}5 < -2\) ✓

**Odpowiedź: D**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Mamy wynik \(x = -2{,}5\). Sprawdzamy, czy spełnia oryginalne równanie:

\[\frac{(-2{,}5)+1}{(-2{,}5)+2} = \frac{-1{,}5}{-0{,}5} = \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = 3 \checkmark\]

Wynik jest poprawny. Szybko eliminujemy też pozostałe przedziały:

- \((-2, 1)\): zawierałby np. \(x = 0\) - ale \(-2{,}5 \notin (-2,1)\)
- \(\langle 1, +\infty)\): zawiera liczby \(\geq 1\) - ale \(-2{,}5 < 1\)
- \((-\infty, -5)\): zawierałby liczby \(< -5\) - ale \(-2{,}5 > -5\)

Jedyny przedział, do którego należy \(-2{,}5\), to \(\langle -5, -2)\).

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia algebraiczne równania (mnożenie przez mianownik, redukcja wyrazów podobnych).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń popełnia błąd znaku: np. liczy \(1 - 6 = 5\) zamiast \(-5\), dostaje \(x = 2{,}5\), co wpada w \((-2,1)\) ale nawet wtedy \(2{,}5 \notin (-2,1)\) - to błąd w kilku miejscach naraz |
| B | Uczeń myli znak i wychodzi mu \(x = 2{,}5\) lub \(x = 5\), co sugeruje odpowiedź B |
| C | Uczeń nie dzieli przez 2 na końcu: zostaje przy \(-5 = 2x\) i przyjmuje \(x = -5\), czyli myśli, że wynik to \(-5\). Ale \(-5 \notin (-\infty, -5)\), bo przedział jest otwarty! Albo myli mianownik z licznikiem i wychodzi mu coś \(< -5\). |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu "skrócić" ułamka - trzeba wymnożyć przez mianownik. Wiele uczniów przenosi \(x+2\) w złe miejsce i pisze \(x+1 = \frac{3}{x+2}\) - to błąd.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź założenie \(x \neq -2\) po wyznaczeniu rozwiązania. Gdyby wyszło \(x = -2\), równanie nie miałoby rozwiązania.

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \(x = -2{,}5\) trzeba jeszcze sprawdzić, do którego z podanych przedziałów należy ta liczba. To ostatni krok, który uczniowie często pomijają i wybierają odpowiedź na wyczucie!

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik
Skoro \(x \neq -2\), możemy pomnożyć obustronnie przez \(x+2\):
\[x + 1 = 3(x+2),\]
\[x + 1 = 3x + 6,\]
\[-5 = 2x,\]
\[x = -\dfrac{5}{2} = -2{,}5.\]
Sprawdzenie: \(-2{,}5\) należy do przedziału \(\langle -5, -2)\) (bo \(-5 \leqslant -2{,}5 < -2\)).

### Sposób 2 - Zapis ułamkowy i przekształcenie
\[\dfrac{x+1}{x+2} = \dfrac{(x+2) - 1}{x+2} = 1 - \dfrac{1}{x+2} = 3.\]
\[\dfrac{1}{x+2} = -2 \Rightarrow x+2 = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{5}{2}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((-2,1)\)** - \(-2{,}5 \notin (-2,1)\); za duże przedziały.
- **B. \(\langle 1,+\infty)\)** - dla \(x>0\) ułamek \(\tfrac{x+1}{x+2}<1\), nie może być \(= 3\).
- **C. \((-\infty,-5)\)** - \(-2{,}5 > -5\), więc nie należy do tego przedziału.

**Trik:** Dla \(x > -2\) (drugi mianownik dodatni) licznik musiałby być \(3\)-krotnie większy od mianownika, ale licznik jest zawsze mniejszy o \(1\) - wynik musi być ujemny.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_