# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Zadanie 9. (0-1)
Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają
w stosunku 3 : 4 : 5 . Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość
A.
2
413 metra.
B.
1
333 metra.
C. 60 metrów.
D. 25 metrów.
9
11
x
9
11
-11
-9
x
x
-11
-9
x

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku 3:4:5. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość A. 41 2/3 metra. B. 33 1/3 metra. C. 60 metrów. D. 25 metrów.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(41\dfrac{2}{3}\) metra

## Sposób 1 - Stosunek jako jednostka

**Od czego zaczynamy:** Stosunek \(3:4:5\) oznacza, że możemy podzielić linę na \(3+4+5 = 12\) równych "porcji". Każda porcja ma tę samą długość.

**Ile wynosi jedna porcja?**

\[1 \text{ porcja} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \text{ m}\]

**Trzy części mają zatem długości:**

\[d_1 = 3 \cdot \frac{25}{3} = 25 \text{ m}\]

\[d_2 = 4 \cdot \frac{25}{3} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \text{ m}\]

\[d_3 = 5 \cdot \frac{25}{3} = \frac{125}{3} = 41\frac{2}{3} \text{ m}\]

**Najdłuższa część odpowiada największej liczbie we stosunku (5), więc:**

\[\boxed{d_3 = 41\tfrac{2}{3} \text{ m}}\]

## Sposób 2 - Układ równań

Oznaczamy długości trzech części jako \(3x\), \(4x\), \(5x\) (gdzie \(x > 0\) to długość jednej "jednostki stosunku"). Warunek na sumę:

\[3x + 4x + 5x = 100\]

\[12x = 100\]

\[x = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}\]

Najdłuższa część:

\[5x = 5 \cdot \frac{25}{3} = \frac{125}{3} = 41\frac{2}{3} \text{ m}\]

**Weryfikacja:** \(25 + 33\tfrac{1}{3} + 41\tfrac{2}{3} = 25 + 33{,}333 + 41{,}666 = 100\) ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja stosunku i podstawowe działania na ułamkach.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B - \(33\frac{1}{3}\) m | To długość **środkowej** (drugiej) części odpowiadającej liczbie 4 we stosunku, nie najdłuższej |
| C - \(60\) m | Błąd: uczeń liczy \(\frac{5}{5+3+4} \cdot 100\) poprawnie, ale myli mianownik - np. sumuje tylko dwie liczby zamiast trzech, albo bierze \(\frac{5}{8} \cdot 100\) (ignorując część o długości \(3x\)) |
| D - \(25\) m | To długość **najkrótszej** części (odpowiadającej liczbie 3 we stosunku); uczeń dobrze oblicza jednostkę \(\frac{25}{3}\), ale bierze \(3 \cdot \frac{25}{3}\) zamiast \(5 \cdot \frac{25}{3}\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \(3:4:5\) NIE oznacza, że części mają długości 3 m, 4 m, 5 m - to tylko proporcja. Zawsze musisz wyznaczyć "jednostkę" i przeskalować do rzeczywistej sumy.

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że mianownik to suma WSZYSTKICH liczb ze stosunku: \(3+4+5=12\), nie \(3+5=8\) ani inna kombinacja.

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \(\frac{125}{3}\) to ułamek - przelicz go na liczbę mieszaną: \(\frac{125}{3} = 41\frac{2}{3}\). Nieprzeliczony ułamek może być trudny do porównania z odpowiedziami w teście.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Proporcja i wspólny mnożnik
Niech części będą \(3k, 4k, 5k\). Suma: \(3k+4k+5k = 12k = 100\), stąd \(k = \tfrac{100}{12} = \tfrac{25}{3}\).

Najdłuższa część: \(5k = 5\cdot \tfrac{25}{3} = \tfrac{125}{3} = 41\tfrac{2}{3}\) m.

### Sposób 2 - Procentowy udział
Suma "kawałków stosunku" = \(3+4+5 = 12\) części. Najdłuższa to \(5\) z \(12\):
\[\dfrac{5}{12} \cdot 100 = \dfrac{500}{12} = \dfrac{125}{3} = 41\dfrac{2}{3}\text{ m}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(33\tfrac{1}{3}\)** - to środkowa część (\(4k = \tfrac{100}{3}\)), nie najdłuższa.
- **C. \(60\)** - wzięto \(5+4+3 = 12\), \(\tfrac{5}{12}\cdot 100\)?? Błędny rachunek, ale bliski \(50\); raczej \(100 - 40 = 60\) po pomyłce.
- **D. \(25\)** - to \(k\cdot 3\) uznano za wynik lub po prostu \(100/4\).

**Trik:** Stosunek \(a:b:c\) - zawsze wprowadź wspólny mnożnik \(k\) i rozwiązuj równanie sumy.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_