# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 1. (0-1)
Dla
2
1
2
x =
+ oraz
2
1
y =
- wartość wyrażenia
2
2
2
x
xy
y
jest równa
A. 4
B. 1
C.
2
D.
1
2
Dla x = √2/2 + 1 oraz y=√2-1 wartość wyrażenia x^2 - 2xy + y^2 jest równa A. 4, B. 1, C. √2, D. 1/√2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A (wartość wynosi 4)

## Sposób 1 - wzór skróconego mnożenia (sprytny trick)

**Kluczowe spostrzeżenie:** wyrażenie \(x^2 - 2xy + y^2\) to pełny kwadrat różnicy!

\[x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\]

Wystarczy więc obliczyć \(x - y\), bez liczenia każdego członu osobno.

**Upraszczamy \(x\):**
\[\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]

Zatem:
\[x = \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1\]

**Obliczamy \(x - y\):**
\[x - y = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2\]

**Wynik:**
\[x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 = 2^2 = \mathbf{4}\]

## Sposób 2 - bezpośrednie podstawienie (rachunkowe)

Po uproszczeniu \(x = \sqrt{2} + 1\), liczymy każdy składnik z osobna:

\[x^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}\]

\[y^2 = (\sqrt{2} - 1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}\]

\[xy = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1\]

Podstawiamy:
\[x^2 - 2xy + y^2 = (3 + 2\sqrt{2}) - 2 \cdot 1 + (3 - 2\sqrt{2})\]
\[= 3 + 2\sqrt{2} - 2 + 3 - 2\sqrt{2} = \mathbf{4}\]

Człony z \(\sqrt{2}\) znoszą się, zostaje czysta liczba całkowita.

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Użyliśmy tego w obie strony: rozpoznaliśmy \(x^2 - 2xy + y^2\) jako \((x-y)^2\) (Sposób 1) oraz rozwinęliśmy \((\sqrt{2}\pm 1)^2\) (Sposób 2).

W Sposobie 2 przy liczeniu \(xy\) skorzystaliśmy też z:
\[(a-b)(a+b) = a^2 - b^2\]

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**
\[\frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}\]
Użyliśmy przy upraszczaniu \(\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B (1) | Uczeń oblicza \(xy = 1\) i błędnie utożsamia cały wynik z \(xy\), zapominając o pozostałych składnikach |
| C (\(\sqrt{2}\)) | Uczeń nie upraszcza \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) i błędnie liczy \(x - y = \sqrt{2}\), a następnie \((x-y)^2 = 2\) - ale potem jeszcze gubi się i bierze \(\sqrt{2}\) zamiast \(2\) |
| D (\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) | Uczeń odwraca ułamek: liczy \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) zamiast \(\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\), przez co \(x - y\) wychodzi ułamkowe |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(\frac{2}{\sqrt{2}} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}\) - to odwrotności! Zawsze racjonalizuj mianownik: mnóż licznik i mianownik przez \(\sqrt{2}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \(x^2\), \(y^2\), \(xy\) osobno, gdy możesz rozpoznać wzór - \(x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2\) to ogromna oszczędność czasu na maturze.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu \(x - y = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1)\) pamiętaj o minusie przed nawiasem: \(-(\sqrt{2} - 1) = -\sqrt{2} + 1\), a nie \(-\sqrt{2} - 1\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia
Z karty wzorów (Dział 1): \((a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\), więc:
\[x^{2} - 2xy + y^{2} = (x-y)^{2}.\]
Obliczmy \(x - y\):
\[x - y = \tfrac{2}{\sqrt{2}} + 1 - (\sqrt{2} - 1) = \tfrac{2}{\sqrt{2}} + 1 - \sqrt{2} + 1.\]
Usuwamy niewymierność: \(\tfrac{2}{\sqrt{2}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\), więc:
\[x - y = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2.\]
Zatem \((x-y)^{2} = 2^{2} = 4\).

### Sposób 2 - Obliczenia bezpośrednie
\(x = \sqrt{2} + 1\), \(y = \sqrt{2} - 1\). Wtedy:
\[x^{2} = 3 + 2\sqrt{2}, \quad y^{2} = 3 - 2\sqrt{2}, \quad xy = 2 - 1 = 1.\]
\[x^{2} - 2xy + y^{2} = 3 + 2\sqrt{2} - 2 + 3 - 2\sqrt{2} = 4.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. 1** - wynik dla \(xy = 1\) (sam iloczyn), nie dla wyrażenia.
- **C. \(\sqrt{2}\)** - ktoś zostawił \(\sqrt{2}\) z pierwszej części i zapomniał podnieść do kwadratu.
- **D. \(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\)** - ktoś potraktował \(\tfrac{2}{\sqrt{2}}\) jako ułamek i zredukował błędnie.

**Trik:** Gdy widzisz wzór \(x^{2} - 2xy + y^{2}\), rozpoznaj od razu \((x-y)^{2}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu ( ) 3 2 1 W x x ax bx + wiedząc, że ( ) 2 7 W oraz, że reszta z dzielenia ( ) W x przez ( ) 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wielomian 𝑊(𝑥) = 8𝑥3 + 14𝑥2 + 5𝑥+ 3 jest iloczynem wielomianów 𝑃(𝑥) = 2𝑥+ 3 oraz 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wynikiem dzielenia wielomianu 5𝑥ଷ-7𝑥ଶ-4𝑥-4 przez dwumian 𝑥-2 jest trójmian kwadratowy postaci 𝑎𝑥ଶ+ 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od 
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia 𝑥3 -2𝑥2 + 𝑥 jest równa wartości

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_