# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 10. (0-1)
Największą wartością funkcji
(
)
4
2
2 +
x
y
w przedziale 3, 5 jest
A. 4
B. 3
C. 0
D. 5
Największą wartością funkcji y = -(x-2)^2 + 4 w przedziale <3,5> jest A. 4, B. 3, C. 0, D. 5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B (3)

## Sposób 1 - Analiza postaci kanonicznej i monotoniczności

Funkcja jest dana w **postaci kanonicznej**:
\[y = -(x-2)^2 + 4\]

Odczytujemy od razu:
- \(a = -1 < 0\) → parabola skierowana **ramionami w dół**
- wierzchołek: \(W = (2, 4)\)

**Wierzchołek leży poza przedziałem!** \(x_W = 2 \notin \langle 3, 5 \rangle\).

Ponieważ \(a < 0\), funkcja rośnie dla \(x < 2\) i **maleje dla \(x > 2\)**.

Cały przedział \(\langle 3, 5 \rangle\) leży po prawej stronie wierzchołka, więc na tym przedziale funkcja jest **malejąca**.

Maksimum na przedziale będzie zatem w **lewym krańcu**, czyli w \(x = 3\):

\[y(3) = -(3-2)^2 + 4 = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = \mathbf{3}\]

Sprawdzamy też prawy kraniec:
\[y(5) = -(5-2)^2 + 4 = -(9) + 4 = -5\]

**Największa wartość funkcji na \(\langle 3, 5 \rangle\) wynosi \(3\).**

## Sposób 2 - Obliczenie wartości w obu krańcach + weryfikacja przez tabelę

Nie zakładamy nic o monotoniczności - po prostu sprawdzamy wartości na brzegach przedziału i porównujemy.

| \(x\) | \(y = -(x-2)^2 + 4\) |
| \(3\) | \(-(1)^2 + 4 = 3\) |
| \(4\) | \(-(2)^2 + 4 = 0\) |
| \(5\) | \(-(3)^2 + 4 = -5\) |

Funkcja przyjmuje coraz mniejsze wartości - **jest malejąca** na całym przedziale. Największa wartość to \(y(3) = 3\).

**Wynik: \(3\)** ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:
\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \quad W = (p, q)\]

Użyliśmy tego wprost - odczytaliśmy \(p = 2\), \(q = 4\) i na tej podstawie określiliśmy, po której stronie wierzchołka leży przedział \(\langle 3, 5 \rangle\) oraz jaki jest kierunek monotoniczności.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| **A** (4) | To jest wartość w **wierzchołku** \(W = (2, 4)\), ale \(x = 2 \notin \langle 3, 5 \rangle\). Uczeń zapomina sprawdzić, czy wierzchołek należy do przedziału. |
| **C** (0) | Wynik dla \(x = 4\) (środek przedziału). Uczeń szuka wartości w środku zamiast na brzegach. |
| **D** (5) | Wartość \(5\) w ogóle nie jest przyjmowana przez tę funkcję na tym przedziale - prawdopodobnie błąd w czytaniu zadania lub myłka z długością przedziału. |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek paraboli to **globalne** ekstremum całej funkcji, ale **nie musi być ekstremum na danym przedziale**! Zawsze sprawdź, czy wierzchołek należy do rozpatrywanego przedziału.

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wierzchołek leży **poza przedziałem**, szukaj maksimum/minimum wyłącznie w **krańcach przedziału**. Dla paraboli skierowanej w dół na przedziale po prawej od wierzchołka - największa wartość jest zawsze w lewym krańcu.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie myp ze "największa wartość funkcji" to wartość wierzchołka - to częsty błąd, który tu prowadzi do odpowiedzi A.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Analiza paraboli w postaci kanonicznej
Funkcja \(y = -(x-2)^{2} + 4\) w postaci kanonicznej (karta wzorów, Dział 5) ma wierzchołek \((2, 4)\). Współczynnik przy \((x-2)^{2}\) to \(-1 < 0\), więc parabola otwiera się w dół.
Przedział \(\langle 3, 5\rangle\) leży na prawo od wierzchołka \((x=2)\). Funkcja jest malejąca dla \(x>2\), więc największą wartość osiąga na lewym końcu przedziału, czyli dla \(x=3\):
\[y(3) = -(3-2)^{2} + 4 = -1 + 4 = 3.\]

### Sposób 2 - Wartości na końcach przedziału
\(y(3) = -1 + 4 = 3\), \(y(5) = -9 + 4 = -5\). Większa: 3.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. 4** - to wartość maksymalna funkcji **na całej osi**, ale wierzchołek \(x=2\) nie leży w \(\langle 3,5\rangle\). Klasyczna pułapka!
- **C. 0** - wartość dla \(x\approx 4\) (\(y(4)=-4+4=0\)), nie maksymalna w przedziale.
- **D. 5** - mylnie przepisano końcową wartość przedziału.

**Trik:** Sprawdź, czy wierzchołek leży w przedziale. Jeśli nie - maksimum/minimum jest na końcu.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_