# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 11. (0-1)
Funkcja liniowa
( ) (
)
2
1
1
f
x
m
x
m
- nie ma miejsc zerowych dla
A.
1
m =
B.
0
m =
C.
1
m = -
D.
2
m = -

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Funkcja liniowa f(x) = (1-m^2)x + m-1 nie ma miejsc zerowych dla A. m=1, B. m=0, C. m=-1, D. m=-2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

## Sposób 1 - Analiza współczynników funkcji liniowej

Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy:
\[a = 0 \quad \text{i} \quad b \neq 0\]

Dlaczego? Bo jeśli \(a \neq 0\), zawsze możemy znaleźć \(x = -\frac{b}{a}\). Jeśli \(a = 0\) i \(b = 0\), to każde \(x\) jest zerem. Tylko gdy \(a = 0\) i \(b \neq 0\), funkcja przyjmuje stałą wartość różną od zera - brak miejsc zerowych.

W naszym zadaniu:
\[a = 1 - m^2, \qquad b = m - 1\]

**Warunek 1:** \(a = 0\)
\[1 - m^2 = 0 \implies m^2 = 1 \implies m = 1 \quad \text{lub} \quad m = -1\]

**Warunek 2:** \(b \neq 0\)
\[m - 1 \neq 0 \implies m \neq 1\]

Łącząc oba warunki: **\(m = -1\)** (bo \(m = 1\) odpada, gdyby $b = 0$).

Sprawdzenie dla \(m = -1\):
\[f(x) = (1 - (-1)^2)x + (-1) - 1 = 0 \cdot x - 2 = -2\]

Funkcja \(f(x) = -2\) jest stałą różną od zera - **nie ma żadnych miejsc zerowych**. ✓

## Sposób 2 - Sprawdzenie wszystkich odpowiedzi

Podstawiamy każdą z wartości \(m\) i sprawdzamy, ile miejsc zerowych ma wynikowa funkcja:

| Odpowiedź | \(m\) | \(f(x)\) | Miejsca zerowe |
| A | \(1\) | \((1-1)x + 0 = 0\) | Każde \(x\) jest zerem - nieskończenie wiele |
| B | \(0\) | \((1-0)x + (-1) = x-1\) | \(x = 1\) - jedno miejsce zerowe |
| **C** | \(-1\) | \((1-1)x + (-2) = -2\) | **Brak - funkcja stale równa \(-2\)** ✓ |
| D | \(-2\) | \((1-4)x + (-3) = -3x-3\) | \(x = -1\) - jedno miejsce zerowe |

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji i podstawowa analiza przypadków dla funkcji liniowej.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \(m = 1\) zeruje **oba** współczynniki: \(a = 0\) i \(b = 0\). Funkcja staje się \(f(x) = 0\) - każde \(x\) spełnia \(f(x) = 0\), więc mamy nieskończenie wiele miejsc zerowych, nie żadnego. |
| B | \(m = 0\) daje \(f(x) = x - 1\) - normalną funkcję liniową (niestałą) z miejscem zerowym \(x = 1\). |
| D | \(m = -2\) daje \(f(x) = -3x - 3\) - niestałą funkcję z miejscem zerowym \(x = -1\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Dla \(m = 1\) oba wyrazy funkcji znikają jednocześnie i dostajemy \(f(x) = 0\). To NIE jest „brak miejsc zerowych" - to przeciwnie, każda liczba jest miejscem zerowym! Uczniowie często mylą te dwa przypadki.

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek braku miejsc zerowych dla funkcji liniowej to **dwa warunki jednocześnie**: \(a = 0\) ORAZ \(b \neq 0\). Samo \(a = 0\) nie wystarczy!

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(m^2 = 1\) daje **dwa** rozwiązania: \(m = 1\) i \(m = -1\). Trzeba sprawdzić oba i wybrać to, które spełnia też warunek \(b \neq 0\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Warunek braku miejsc zerowych
Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) **nie ma miejsc zerowych** gdy \(a = 0\) i \(b \neq 0\) (jest wtedy funkcją stałą różną od zera).
Tu: \(a = 1-m^{2}\), \(b = m-1\).
- \(a = 0\): \(1-m^{2} = 0 \Rightarrow m = \pm 1\).
- \(b \neq 0\): \(m-1 \neq 0 \Rightarrow m \neq 1\).

Obie warunki razem: \(m = -1\) (bo \(m=1\) daje \(b=0\) - wtedy \(f\) jest tożsamościowo 0 i **ma** nieskończenie wiele miejsc zerowych).

### Sposób 2 - Sprawdzanie każdej odpowiedzi
- A. \(m=1\): \(f(x) = 0\cdot x + 0 = 0\). Tożsamościowo zero - każde \(x\) to miejsce zerowe.
- B. \(m=0\): \(f(x) = x - 1\), miejsce zerowe \(x=1\) - ma.
- C. \(m=-1\): \(f(x) = 0\cdot x + (-2) = -2\). Funkcja stała \(-2\neq 0\) - **brak miejsc zerowych**. ✓
- D. \(m=-2\): \(f(x) = -3x - 3\), miejsce zerowe \(x=-1\) - ma.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** \(m=1\): funkcja znika tożsamościowo - ma nieskończenie wiele zer.
- **B, D.** mają miejsca zerowe.

**Trik:** "Brak miejsc zerowych" dla liniowej = poziomy wykres nie na osi OX.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Dana jest prosta l o równaniu 2 2 3 x y oraz punkt ( ) 2 ,3 - A . Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) (28) Funkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. Odpowiedź: EMAP-P0_100 Rozwiązan
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem ( ) 2 f x x bx c + jest parabola, na której leży punkt ( ) 0, 5 A = . Osią symetrii tej parab
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑘+ 2)𝑥+ (𝑘-3), gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybier

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_