# Matematyka — zadanie 12 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/12 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 1 - działy: Funkcje, funkcja kwadratowa ## Treść Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem f ( x ) = -( x -1)(3 - x ) . Wskaż ten /matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-183/z12.png . A. B. C. D. A. Parabola ramionami w dół, wierzchołek dodatnie y. B. Parabola ramionami w górę, wierzchołek ujemne y. C. Parabola ramionami w dół, wierzchołek ujemne y. D. Parabola ramionami w górę, wierzchołek ujemne y, miejsca zerowe 1 i 3. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D ## Sposób 1 - Analiza współczynnika i miejsc zerowych **Krok 1: Rozwinięcie wzoru funkcji** \[f(x) = -(x-1)(3-x)\] Mnożymy najpierw nawiasy: \[(x-1)(3-x) = 3x - x^2 - 3 + x = -x^2 + 4x - 3\] Następnie przed nawiasem jest minus - zmieniamy znaki wszystkich wyrazów: \[f(x) = -(-x^2 + 4x - 3) = x^2 - 4x + 3\] **Krok 2: Odczytanie współczynnika \(a\)** \(a = 1 > 0\) → **parabola skierowana ramionami w górę** (eliminujemy rysunki z ramionami w dół). **Krok 3: Wyznaczenie miejsc zerowych** \[f(x) = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0\] Ze wzoru \(f(x) = -(x-1)(3-x)\) od razu odczytujemy: \[x_1 = 1, \quad x_2 = 3\] Sprawdzenie: \(f(1) = -(1-1)(3-1) = 0\) ✓, \(f(3) = -(3-1)(3-3) = 0\) ✓ **Krok 4: Wyznaczenie wierzchołka** \[p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\] \[q = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\] Wierzchołek \(W = (2, -1)\) - **poniżej osi \(OX\)**. **Wniosek:** Szukamy paraboli otwartej ku górze, z wierzchołkiem przy ujemnym \(y\) i miejscami zerowymi w \(x = 1\) oraz \(x = 3\). To właśnie **wykres D**. ## Sposób 2 - Szybka analiza bez rozwijania Funkcja dana jest w **postaci iloczynowej** \(f(x) = -(x-1)(3-x)\). Możemy od razu przepisać ją jako: \[f(x) = (x-1)(x-3)\] bo \(-(x-1)(3-x) = -(x-1) \cdot (-(x-3)) = (x-1)(x-3)\). Z postaci iloczynowej \(f(x) = (x-1)(x-3)\) natychmiast odczytujemy: - \(a = 1 > 0\) → **ramiona ku górze** - miejsca zerowe: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\) - wierzchołek w \(x = 2\), wartość \(f(2) = (2-1)(2-3) = 1 \cdot (-1) = -1 < 0\) → **wierzchołek poniżej osi \(OX\)** Jedyny rysunek spełniający te trzy warunki jednocześnie to **D**. ## Wzory z karty CKE **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa oraz wzór na wierzchołek: \[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\] \[p = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad q = f(p)\] Użyliśmy tego do wyznaczenia miejsca wierzchołka oraz do identyfikacji ramion paraboli na podstawie znaku \(a\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | A | Uczeń poprawnie widzi ramiona w górę i wierzchołek poniżej osi, ale myli się co do wartości miejsc zerowych (np. bierze \(-1\) i \(3\) zamiast \(1\) i \(3\)) | | B | Uczeń pomylił znak \(a\) - rozwinął \(f(x)\) i zostawił \(-x^2 + 4x - 3\), myśląc że \(a = -1\), co daje ramiona **w dół** z wierzchołkiem **powyżej** \(OX\) | | C | Podwójny błąd: ramiona w dół (błędny znak \(a\)) **i** wierzchołek poniżej \(OX\) - wynik pomieszania obu powyższych błędów | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Minus przed nawiasem \(-(x-1)(3-x)\) łatwo pomylić. Wielu uczniów myśli, że \(a = -1\) i rysuje ramiona w dół - tymczasem \(-(3-x) = (x-3)\), więc \(a = +1\). > ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe to \(x = 1\) i \(x = 3\), **nie** \(x = -1\) i \(x = 3\). Patrz na postać \((x - x_0) = 0\), a nie \((x + x_0) = 0\). > ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek leży **między** zerami: \(p = \frac{1+3}{2} = 2\), a \(q = -1 < 0\) - wierzchołek jest **poniżej** osi \(OX\), mimo że parabola otwiera się ku górze. To częsty punkt zaskoczenia! **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Rozwinięcie wzoru \[f(x) = -(x-1)(3-x) = -(3x - x^{2} - 3 + x) = -(-x^{2} + 4x - 3) = x^{2} - 4x + 3.\] Współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni (\(a=1>0\)) - parabola ma ramiona skierowane **w górę**. Miejsca zerowe: \(x=1\) i \(x=3\). Wierzchołek przy \(x_{w} = \tfrac{1+3}{2} = 2\), \(y_{w} = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1\). Parabola w górę, wierzchołek \((2, -1)\) poniżej osi OX, miejsca zerowe \(1\) i \(3\). ### Sposób 2 - Postać iloczynowa W postaci \(f(x) = -(x-1)(3-x)\), zauważamy że \(-(3-x) = x-3\), więc \(f(x) = (x-1)(x-3)\) - postać iloczynowa z współczynnikiem \(a=1\). Od razu miejsca zerowe \(1\), \(3\) i ramiona w górę. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A, C.** Pokazują parabolę ramionami w dół - ale \(a=+1>0\), więc w górę. - **B.** Ma ramiona w górę, ale błędne miejsca zerowe. **Trik:** Przy rozwijaniu iloczynu z dwoma minusami (minus z przodu + \((3-x)\)) znak plusa się odzyskuje: \(-(3-x) = x-3\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/12) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F12) ## Podobne zadania - [Zadanie 11.3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.3) — Zadanie 11.3. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział - [Zadanie 12.2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.2) — Zadanie 12.2. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest prz - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Funkcje 𝑔 oraz ℎ są okre - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/20) — Zadanie 20. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Ta funkcja jest określon _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_