# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 13. (0-1)
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (
)
na
określonego dla
1
n ≥ są dodatnie i
2
3
3
2
a
a
Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy
A.
2
3
q =
B.
3
2
q =
C.
6
q =
D.
5
q =

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego a_n określonego dla n ≥ 1 są dodatnie i 3a_2 = 2a_3. Stąd wynika, że iloraz q tego ciągu jest równy A. q = 2/3, B. q = 3/2, C. q = 6, D. q = 5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(q = \dfrac{3}{2}\)

## Sposób 1 - Podstawienie wzoru na wyraz ciągu geometrycznego

Z definicji ciągu geometrycznego wiemy, że \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), więc:
\[a_2 = a_1 \cdot q, \qquad a_3 = a_1 \cdot q^2\]

Podstawiamy do równania \(3a_2 = 2a_3\):
\[3 \cdot a_1 q = 2 \cdot a_1 q^2\]

Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, mamy \(a_1 > 0\) i \(q > 0\), więc możemy podzielić obie strony przez \(a_1 q\):
\[3 = 2q\]

\[\boxed{q = \frac{3}{2}}\]

## Sposób 2 - Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (iloraz wyrazów sąsiednich)

Iloraz ciągu geometrycznego to **stały stosunek wyrazu następnego do poprzedniego**:
\[q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\]

Zatem w szczególności:
\[q = \frac{a_3}{a_2}\]

Z waruniku zadania \(3a_2 = 2a_3\) wyznaczamy stosunek \(\dfrac{a_3}{a_2}\):
\[3a_2 = 2a_3 \implies \frac{a_3}{a_2} = \frac{3}{2}\]

Stąd bezpośrednio:
\[\boxed{q = \frac{3}{2}}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyrażenia \(a_2\) i \(a_3\) przez \(a_1\) i \(q\).

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - definicja ilorazu ciągu geometrycznego:
\[q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 jako bezpośrednia definicja \(q\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Obliczono \(\frac{2}{3}\), czyli **odwrotność** poprawnego wyniku - typowa pomyłka przy dzieleniu: uczeń pisze \(2q = 3\) zamiast \(3 = 2q\), bo przestawia strony równania |
| C | Błędne mnożenie zamiast dzielenia - uczeń "mnoży" \(3 \cdot 2 = 6\), kompletnie ignorując strukturę równania |
| D | Wynik wzięty z sufitu lub błędne dodawanie \(3 + 2 = 5\) - brak algebraicznego podejścia |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zamiana stron i wyliczenie \(q = \frac{2}{3}\). Zawsze sprawdź, po której stronie stoi \(q\) po uproszczeniu - tu dzielimy przez \(2\), więc \(q = \frac{3}{2}\), nie \(\frac{2}{3}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „wszystkie wyrazy są dodatnie" jest kluczowy - dzięki niemu możemy spokojnie dzielić przez \(a_1 q\) bez rozpatrywania przypadków. Bez tego założenia \(q\) mogłoby być ujemne i trzeba by było sprawdzać dodatkowe warianty.

> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \(q > 1\) oznacza ciąg **rosnący**, co jest zgodne z warunkiem - skoro \(3a_2 = 2a_3\), to \(a_3 > a_2\) (lewa strona ma większy współczynnik przy tym samym wyrazie, więc \(a_3\) musi być większe). To szybka sanity check bez liczenia.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Definicja ilorazu ciągu geometrycznego
Z karty wzorów (Dział 4): dla ciągu geometrycznego \(a_{n+1} = a_{n}\cdot q\). Zatem \(a_{3} = a_{2}\cdot q\).
Z warunku \(3a_{2} = 2a_{3}\):
\[3a_{2} = 2\cdot a_{2}\cdot q.\]
Ponieważ \(a_{2}\neq 0\) (wyrazy dodatnie), dzielimy obie strony przez \(a_{2}\):
\[3 = 2q \Rightarrow q = \tfrac{3}{2}.\]

### Sposób 2 - Podstawienie symboliczne
Niech \(a_{2} = a\), \(a_{3} = aq\). Wtedy \(3a = 2aq\), czyli \(q = \tfrac{3}{2}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{2}{3}\)** - odwrotność poprawnej odpowiedzi; ktoś obliczył \(\tfrac{a_{2}}{a_{3}}\) zamiast \(\tfrac{a_{3}}{a_{2}}\).
- **C. 6** - pomyłka \(3\cdot 2 = 6\).
- **D. 5** - pomyłka \(3 + 2 = 5\).

**Trik:** Iloraz \(q = \tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\) - następny przez poprzedni!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_