# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 14. (0-1)
Dany jest ciąg arytmetyczny (
)
na
określony wzorem
1
2
16
na
n
⋅ dla każdej liczby
całkowitej
1
n ≥. Różnica r tego ciągu jest równa
A.
16
r = -
B.
1
2
r = -
C.
1
32
r = -
D.
1
2
15
r =
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony wzorem a_n = 16 - 1/2\c n dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1. Różnica r tego ciągu jest równa A. r = 16, B. r = -1/2, C. r = -1/32, D. r = 15 1/2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(r = -\dfrac{1}{2}\)

## Sposób 1 - odczytanie różnicy bezpośrednio ze wzoru ogólnego

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]

Spróbujmy dopasować dany wzór do tej postaci:
\[a_n = 16 - \frac{1}{2} \cdot n\]

Rozkładamy:
\[a_n = 16 - \frac{1}{2}n = 16 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}n = \frac{31}{2} + \frac{1}{2}(1-n) = \frac{31}{2} + (-\frac{1}{2})(n-1)\]

Czyli mamy postać \(a_1 + r(n-1)\), gdzie:
\[a_1 = \frac{31}{2}, \qquad \mathbf{r = -\frac{1}{2}}\]

**Różnica ciągu wynosi \(r = -\dfrac{1}{2}\).**

## Sposób 2 - obliczenie różnicy jako \(a_{n+1} - a_n\)

Różnica ciągu arytmetycznego to stała wartość \(r = a_{n+1} - a_n\).

Obliczamy \(a_{n+1}\):
\[a_{n+1} = 16 - \frac{1}{2}(n+1) = 16 - \frac{1}{2}n - \frac{1}{2}\]

Odejmujemy \(a_n\):
\[r = a_{n+1} - a_n = \left(16 - \frac{1}{2}n - \frac{1}{2}\right) - \left(16 - \frac{1}{2}n\right)\]
\[r = 16 - \frac{1}{2}n - \frac{1}{2} - 16 + \frac{1}{2}n = -\frac{1}{2}\]

**Wynik niezależny od \(n\) - to potwierdza, że ciąg jest arytmetyczny z różnicą \(r = -\dfrac{1}{2}\).**

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do porównania postaci wzoru i odczytania \(r\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Pomylono różnicę \(r\) z wyrazem wolnym: wzięto \(-16\) zamiast współczynnika przy \(n\) |
| C | Podzielono \(-\frac{1}{2}\) przez \(a_1 = 32\) (lub przez inne wyrazy) - brak podstaw matematycznych |
| D | Obliczono \(a_1 = 16 - \frac{1}{2} \cdot 1 = 15{,}5\) i wzięto tę wartość jako różnicę zamiast jako pierwszy wyraz |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \(r\) to **współczynnik przy \(n\)** we wzorze \(a_n = \ldots + r \cdot n\), a nie wyraz wolny. Nie myl \(r\) z \(a_1\)!

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(a_n = a_1 + (n-1)r\) zawiera \((n-1)\), nie \(n\). Dlatego wyraz wolny w zapisie \(a_n = An + B\) to **nie jest** \(a_1\), lecz \(a_1 - r\). Pierwszego wyrazu szukaj podstawiając \(n=1\).

> ⚠️ **Uwaga:** Ujemna różnica (\(r < 0\)) oznacza ciąg **malejący** - każdy następny wyraz jest mniejszy o \(\frac{1}{2}\). To naturalne i nie jest błędem!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Ogólna postać ciągu arytmetycznego
Każdy ciąg postaci \(a_{n} = A + B\cdot n\) jest arytmetyczny z różnicą \(r = B\) (współczynnik przy \(n\)).
Tu \(a_{n} = 16 + (-\tfrac{1}{2})n\), więc \(r = -\tfrac{1}{2}\).

### Sposób 2 - Obliczenie z definicji
\(r = a_{n+1} - a_{n} = \bigl[16 - \tfrac{1}{2}(n+1)\bigr] - \bigl[16 - \tfrac{1}{2}n\bigr] = -\tfrac{1}{2}n - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}n = -\tfrac{1}{2}\).

Sprawdzenie: \(a_{1} = 16 - \tfrac{1}{2} = 15{,}5\); \(a_{2} = 16 - 1 = 15\); \(a_{2}-a_{1} = -0{,}5\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-16\)** - ktoś pomylił \(r\) z wyrazem \(a_{0}\) albo użył złego wzoru.
- **C. \(-\tfrac{1}{32}\)** - ktoś podstawił \(n=16\) lub mnożył zamiast różnicować.
- **D. \(15\tfrac{1}{2}\)** - to \(a_{1}\), nie \(r\).

**Trik:** We wzorze \(a_{n} = An + B\): \(r = A\), \(a_{1} = A + B\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (0-1) Dla ciągu arytmetycznego ( ) na , określonego dla 1 n ≥, jest spełniony warunek 4 5 6 12 a a a Wtedy A. 5 4 a = B. 5 3 a = C. 5 6 a = D. 5 5 a
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14) — Zadanie 14. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na określony wzorem 1 2 16 na n ⋅ dla każdej liczby całkowitej 1 n ≥. Różnica r tego ciągu jest równa A. 16 r 
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2011-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13) — Zadanie 13. (1 pkt) Ciąg arytmetyczny ( ) na jest określony wzorem 1 2 - = n an dla 1 ≥ n . Różnica tego ciągu jest równa A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 y x 1 1 2 3 4 0 2 
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/13) — Zadanie 13. (0-1) Ciąg arytmetyczny , określony dla 1 n ≥, spełnia warunek 3 4 5 15 a a a Wtedy A. 4 5 a = B. 4 6 a = C. 4 3 a = D. 4 4 a = Ciąg arytmetyczny (a

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_