# Matematyka — zadanie 15

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/15
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Zadanie 15. (0-1)
Liczba 1
tg40
° jest
A. ujemna.
B. dodatnia, ale mniejsza od 0,1.
C. większa od 0,1, ale mniejsza od 0,5.
D. większa od 0,5.
Liczba 1 - tg40° jest A. ujemna. B. dodatnia, ale mniejsza od 0,1. C. większa od 0,1, ale mniejsza od 0,5. D. większa od 0,5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

Liczba \(1 - \operatorname{tg}40°\) jest większa od \(0{,}1\), ale mniejsza od \(0{,}5\).

## Sposób 1 - Bezpośredni odczyt z tablicy (s. 34 karty CKE)

Karta wzorów CKE zawiera tablicę wartości funkcji trygonometrycznych dla każdego stopnia od \(0°\) do \(90°\) (s. 34). Korzystamy z niej wprost:

\[\operatorname{tg}40° \approx 0{,}839\]

Zatem:

\[1 - \operatorname{tg}40° \approx 1 - 0{,}839 = 0{,}161\]

Sprawdzamy, w którym przedziale leży \(0{,}161\):

\[0{,}1 < 0{,}161 < 0{,}5\]

**Odpowiedź: C.**

## Sposób 2 - Algebraiczne ograniczenie (bez tablicy szczegółowej)

**Krok 1: Czy wartość jest dodatnia? (eliminacja A)**

Funkcja \(\operatorname{tg}\) jest rosnąca na \((0°, 90°)\), a \(\operatorname{tg}45° = 1\). Skoro \(40° < 45°\):

\[\operatorname{tg}40° < \operatorname{tg}45° = 1 \implies 1 - \operatorname{tg}40° > 0\]

Wartość jest **dodatnia** - odpowiedź A odpada.

**Krok 2: Przekształcamy algebraicznie**

\[1 - \operatorname{tg}40° = \frac{\cos40° - \sin40°}{\cos40°}\]

Licznik przekształcamy sprytnym trikiem - wyciągamy \(\sqrt{2}\):

\[
\cos40° - \sin40° = \sqrt{2}\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos40° - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin40°\right) = \sqrt{2}(\cos45°\cos40° - \sin45°\sin40°)
\]

To jest wzór na cosinus sumy kątów \(\cos(\alpha+\beta)\):

\[= \sqrt{2}\cos(45°+40°) = \sqrt{2}\cos85° = \sqrt{2}\sin5°\]

Zatem:

\[\boxed{1 - \operatorname{tg}40° = \frac{\sqrt{2}\sin5°}{\cos40°}}\]

**Krok 3: Górne ograniczenie - eliminacja D**

Skoro \(40° > 30°\) i \(\operatorname{tg}\) jest rosnąca:

\[\operatorname{tg}40° > \operatorname{tg}30° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577\]

\[1 - \operatorname{tg}40° < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \approx \frac{3 - 1{,}732}{3} \approx \frac{1{,}268}{3} \approx 0{,}423 < 0{,}5\]

Odpowiedź D odpada.

**Krok 4: Dolne ograniczenie - eliminacja B**

Ze wzoru \(1 - \operatorname{tg}40° = \dfrac{\sqrt{2}\sin5°}{\cos40°}\) i wartości z tablicy (\(\sin5° \approx 0{,}087\), \(\cos40° \approx 0{,}766\)):

\[1 - \operatorname{tg}40° \approx \frac{1{,}414 \cdot 0{,}087}{0{,}766} \approx \frac{0{,}123}{0{,}766} \approx 0{,}161 > 0{,}1\]

Odpowiedź B odpada. **Wynik należy do przedziału \((0{,}1;\; 0{,}5)\) - odpowiedź C.**

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 12-13)** - wzór na cosinus sumy kątów:
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do zapisania \(\cos40° - \sin40°\) jako \(\sqrt{2}\cos85°\).

**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartości tablicowane:
\[\operatorname{tg}30° = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \operatorname{tg}45° = 1\]
Użyliśmy ich do ograniczenia \(\operatorname{tg}40°\) z obu stron.

**Dział 17 (Tablica wartości, s. 34)** - wartości co \(1°\):
\[\operatorname{tg}40° \approx 0{,}8391\]
Bezpośrednio daje wynik w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **A** | Uczeń myśli, że \(\operatorname{tg}40°\) jest liczbą większą od 1 - zapomniał, że \(\operatorname{tg}45° = 1\) i \(\operatorname{tg}\) jest rosnąca, więc \(\operatorname{tg}40° < 1\) |
| **B** | Błędne przybliżenie \(\operatorname{tg}40° \approx 0{,}9\) i obliczenie \(1 - 0{,}9 = 0{,}1\) - granica jest otwarta i wynik jest ponad \(0{,}1\) |
| **D** | Uczeń myli \(\operatorname{tg}40°\) z \(\operatorname{tg}60° \approx 1{,}73\) albo myśli, że \(\operatorname{tg}40° < 0{,}5\), co dawałoby \(1 - \operatorname{tg}40° > 0{,}5\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl rosnącości tangensa z wartością 1 - \(\operatorname{tg}\) jest mniejsza od 1 dla kątów ostrych mniejszych niż \(45°\) i większa od 1 dla kątów z przedziału \((45°, 90°)\).

> ⚠️ **Uwaga:** Na maturze masz tablicę wartości trygonometrycznych na s. 34 karty wzorów - użyj jej! Wystarczy odczytać \(\operatorname{tg}40°\) i w 10 sekund masz wynik.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy metodzie algebraicznej pamiętaj, że \(\cos45° = \sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - to pozwala "wyciągnąć" \(\sqrt{2}\) i skorzystać ze wzoru na cosinus sumy. To ważny trick w zadaniach z trygonometrią!

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wartości trygonometryczne z tablic (karta wzorów)
Z tablicy wartości trygonometrycznych (karta wzorów): \(\mathrm{tg}\,30^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577\), \(\mathrm{tg}\,45^{\circ} = 1\).
Funkcja \(\mathrm{tg}\) jest rosnąca na \((0^{\circ}, 90^{\circ})\), więc:
\[0{,}577 < \mathrm{tg}\,40^{\circ} < 1.\]
Przybliżenie: \(\mathrm{tg}\,40^{\circ} \approx 0{,}839\).
Zatem \(1 - \mathrm{tg}\,40^{\circ} \approx 1 - 0{,}839 = 0{,}161\).
Liczba ta jest dodatnia, \(0{,}1 < 0{,}161 < 0{,}5\) - odpowiedź **C**.

### Sposób 2 - Szacowanie
Ponieważ \(\mathrm{tg}\,45^{\circ} = 1\) i \(\mathrm{tg}\) rośnie, to \(\mathrm{tg}\,40^{\circ} < 1\), więc \(1 - \mathrm{tg}\,40^{\circ} > 0\) - wyklucza A.
Z drugiej strony \(\mathrm{tg}\,40^{\circ} > \mathrm{tg}\,30^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{3} > \tfrac{1}{2}\), więc \(1 - \mathrm{tg}\,40^{\circ} < 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\). Wyklucza D.
Ponadto \(\mathrm{tg}\,40^{\circ}\) nie jest zbyt bliska 1 (\(40^{\circ}\) dość daleko od \(45^{\circ}\)), więc \(1 - \mathrm{tg}\,40^{\circ}\) nie jest mniejsza od \(0{,}1\) - wyklucza B.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** \(\mathrm{tg}\,40^{\circ} < 1\), więc różnica dodatnia.
- **B.** \(\mathrm{tg}\,40^{\circ}\) nie jest aż tak bliska 1.
- **D.** \(\mathrm{tg}\,40^{\circ} > \tfrac{1}{2}\).

**Trik:** \(\mathrm{tg}\,45^{\circ} = 1\) - to punkt odniesienia.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/15)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F15)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Rozwiąż równanie cos2 3cos 2 x x w przedziale 0, 2π . Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>.
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos2 2 3cos x x   Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 2. 3. Maks. liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt Poziom rozszer
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdani
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Kąt jest ostry i 3 sin 2  . Oblicz wartość wyrażenia 2 2 sin 3cos    Odpowiedź: Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Wypełnia egzam

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_