# Matematyka — zadanie 16 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/16 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 16. (0-1) Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że BC OB = (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe A. 2 2 1 r B. 2 4 1 r C. 2 4 r π D. 2 4 3 r Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że |OB| = |BC| (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe A. 1/2 r^2, B. 1/4 r^2, C. π/4 r^2, D. √3/4 r^2. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D \[\text{Pole trójkąta } AOC = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2\] ## Sposób 1 - Współrzędne (wyznaczenie punktu C) **Ustawiamy układ współrzędnych** ze środkiem w O: \[O = (0,0), \quad A = (-r, 0), \quad B = (r, 0)\] Punkt C leży na okręgu, więc \(|OC| = r\). Szukamy C = \((r\cos\theta,\ r\sin\theta)\) spełniającego warunek \(|OB| = |BC| = r\). **Wyznaczamy kąt \(\theta\):** \[|BC|^2 = (r\cos\theta - r)^2 + (r\sin\theta)^2 = r^2\] \[r^2(\cos\theta - 1)^2 + r^2\sin^2\theta = r^2\] \[\cos^2\theta - 2\cos\theta + 1 + \sin^2\theta = 1\] \[2 - 2\cos\theta = 1 \implies \cos\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = -60°\] (C jest w dolnej półpłaszczyźnie - tak jak na rysunku.) \[C = \left(\frac{r}{2},\ -\frac{r\sqrt{3}}{2}\right)\] **Obliczamy pole** trójkąta AOC o wierzchołkach \(A(-r, 0)\), \(O(0,0)\), \(C\!\left(\frac{r}{2}, -\frac{r\sqrt{3}}{2}\right)\): \[P = \frac{1}{2} \cdot |AO| \cdot h\] Podstawa \(AO\) leży na osi \(Ox\), więc \(|AO| = r\). Wysokość z C to odległość od osi \(Ox\): \[h = \left|-\frac{r\sqrt{3}}{2}\right| = \frac{r\sqrt{3}}{2}\] \[\boxed{P = \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{r\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2}\] ## Sposób 2 - Trójkąt równoboczny OBC + wzór z sinusem **Kluczowe spostrzeżenie:** \(|OB| = |OC| = |BC| = r\), bo O i C to punkty okręgu, a warunek zadania mówi \(|BC| = |OB| = r\). **Trójkąt OBC jest równoboczny!** Stąd: \[\angle BOC = 60°\] Kąt \(\angle AOC\) jest suplementem \(\angle BOC\) (A, O, B leżą na jednej prostej): \[\angle AOC = 180° - 60° = 120°\] **Pole trójkąta AOC** ze wzoru \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\): \[P = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OC| \cdot \sin(\angle AOC) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 120°\] \[\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\boxed{P = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta z sinusem kąta: \[P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\] Użyte w Sposobie 2 do obliczenia pola trójkąta AOC, gdy znamy dwa boki (\(|OA| = |OC| = r\)) i kąt między nimi (\(120°\)). **Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny: \[\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\] Użyte do obliczenia \(\sin 120° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | **A** \(\frac{1}{2}r^2\) | Uczeń stosuje wzór \(P = \frac{1}{2}r^2\sin\gamma\), ale wstawia \(\sin 90°= 1\) zamiast \(\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - błędnie zakłada, że kąt AOC wynosi \(90°\) | | **B** \(\frac{1}{4}r^2\) | Uczeń liczy poprawnie podstawę \(|AO| = r\), ale przyjmuje błędną wysokość \(h = \frac{r}{2}\) (bierze współrzędną \(x\) punktu C zamiast \(y\)) | | **C** \(\frac{\pi}{4}r^2\) | Uczeń myli pole trójkąta AOC z polem **wycinka koła** (ćwiartki okręgu o promieniu r), czyli \(\frac{1}{4}\pi r^2\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Warunek \(|OB| = |BC|\) razem z \(|OC| = r = |OB|\) tworzy trójkąt równoboczny - to kluczowe spostrzeżenie całego zadania. Kto go przeoczy, traci główną drogę rozwiązania. > ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(\angle AOC = 120°\), **nie** \(60°\)! Kąty \(\angle BOC\) i \(\angle AOC\) są suplementarne (razem dają \(180°\)), bo A, O, B są współliniowe. Pomylenie tych kątów prowadzi prosto do błędnej odpowiedzi. > ⚠️ **Uwaga:** \(\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), a nie \(\frac{1}{2}\) (które jest wartością \(\cos 60°\)). W zadaniach z kątami rozwartymi zawsze korzystaj ze wzoru redukcyjnego \(\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\). **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Trójkąt OBC jest równoboczny \(|OB| = |OC| = r\) (promienie) oraz \(|OB| = |BC|\) (z treści), więc \(|OB| = |OC| = |BC| = r\). Trójkąt \(OBC\) jest równoboczny o boku \(r\). Spójrzmy na trójkąt \(AOC\): \(|AO| = |OC| = r\), więc jest równoramienny. Kąt \(\angle AOC\) to kąt przyległy do \(\angle BOC = 60^{\circ}\) (kąt trójkąta równobocznego), więc \(\angle AOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\). Pole trójkąta ze wzoru (karta wzorów, Dział 9): \[P = \tfrac{1}{2}\cdot |AO|\cdot|OC|\cdot \sin(\angle AOC) = \tfrac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot \sin 120^{\circ} = \tfrac{1}{2}r^{2}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}r^{2}.\] ### Sposób 2 - Przez wysokość W trójkącie \(OBC\) równobocznym wysokość z \(C\) na \(OB\) ma długość \(h = \tfrac{r\sqrt{3}}{2}\) (wzór na wysokość trójkąta równobocznego). Ta wysokość jest też wysokością trójkąta \(AOC\) (prostopadła do prostej \(AB\), spuszczona z \(C\)). Podstawa \(AO = r\), wysokość \(\tfrac{r\sqrt{3}}{2}\), więc: \[P_{AOC} = \tfrac{1}{2}\cdot r\cdot \tfrac{r\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}r^{2}.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\tfrac{1}{2}r^{2}\)** - gdyby \(\sin(\angle AOC) = 1\), czyli kąt prosty; tu 120°. - **B. \(\tfrac{1}{4}r^{2}\)** - ktoś użył \(\sin 30^{\circ} = \tfrac{1}{2}\); błędny kąt. - **C. \(\tfrac{\pi}{4}r^{2}\)** - zawiera \(\pi\); pole trójkąta nie zawiera \(\pi\). **Trik:** Równoboczny trójkąt o boku \(r\) ma pole \(\tfrac{r^{2}\sqrt{3}}{4}\) - tu przypadkiem ta sama formuła! ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/16) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F16) ## Podobne zadania - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (5 pkt) Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z tr - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-4) W trapezie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷 dłuższa podstawa 𝐴𝐵 ma długość 7,5. Krótsza przekątna 𝐴𝐶 ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prost - [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-4) W trójkącie ABC dane są długości boków 15 AB i 12 AC = oraz 4 5 cosα = , gdzie BAC α =  . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpow - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 400 cm2. Figurę tę podzielono na kwadrat K1 o polu 49 cm2 i kwadrat K2 oraz figurę F (patrz rysun _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_