# Matematyka — zadanie 17 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/17 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria ## Treść Zadanie 17. (0-1) Okrąg o środku ( )1 ,2 1 = S i promieniu r oraz okrąg o środku ( ) 5 ,5 2 = S i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy A. 1 r B. 2 r C. 3 r D. 4 r MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Okrąg o średnicy S_1=(2,1) i promieniu r oraz okrąg o środku S_2=(5,5) i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy A. r = 1, B. r = 2, C. r = 3, D. r = 4. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(r = 1\) ## Sposób 1 - Warunek styczności zewnętrznej Dwa okręgi są **styczne zewnętrznie**, gdy odległość między ich środkami równa się **sumie promieni**: \[|S_1 S_2| = r_1 + r_2\] **Krok 1:** Oblicz odległość między środkami \(S_1 = (2, 1)\) i \(S_2 = (5, 5)\). \[|S_1 S_2| = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] **Krok 2:** Zastosuj warunek styczności zewnętrznej. Wiemy, że \(r_2 = 4\), szukamy \(r = r_1\): \[r_1 + r_2 = 5\] \[r + 4 = 5\] \[\boxed{r = 1}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie wszystkich odpowiedzi Sprawdzamy, czy dla danego \(r\) spełniony jest warunek \(r + 4 = 5\): | Odpowiedź | \(r\) | \(r + 4\) | Równa \(|S_1S_2| = 5\)? | | A | 1 | 5 | ✓ TAK | | B | 2 | 6 | ✗ NIE | | C | 3 | 7 | ✗ NIE | | D | 4 | 8 | ✗ NIE | Tylko \(r = 1\) spełnia warunek styczności zewnętrznej. ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość między dwoma punktami: \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Użyliśmy tego wzoru w Kroku 1 do obliczenia odległości między środkami okręgów. W tym zadaniu warunek styczności zewnętrznej (\(|S_1S_2| = r_1 + r_2\)) to własność geometryczna wynikająca z definicji - nie ma go wprost na karcie CKE, ale jest standardową wiedzą z planimetrii (Dział 10, s. 15-21). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | B | \(r = 2\): uczeń mógł odjąć współrzędne \(5 - 3 = 2\) zamiast policzyć odległość wzorem | | C | \(r = 3\): uczeń mógł pomylić styczność zewnętrzną z wewnętrzną - dla styczności wewnętrznej byłoby \(|S_1S_2| = r_2 - r_1\), skąd \(r_1 = 4 - 5\) (bez sensu), lub po prostu wziął tylko jeden składnik różnicy \(\sqrt{3^2+4^2}\) - samą liczbę 3 | | D | \(r = 4\): uczeń mógł założyć, że oba okręgi mają równe promienie, albo przepisał \(r_2 = 4\) zamiast wyliczyć \(r_1\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić styczności **zewnętrznej** ze **wewnętrzną**! Zewnętrzna: \(|S_1S_2| = r_1 + r_2\). Wewnętrzna: \(|S_1S_2| = |r_1 - r_2|\). W zadaniu jest explicite "styczne zewnętrznie" - czytaj uważnie! > ⚠️ **Uwaga:** Odległość między punktami to **nie** zwykłe odejmowanie współrzędnych. Zawsze stosuj wzór z pierwiastkiem: \(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\). Tu \(\Delta x = 3\), \(\Delta y = 4\) - klasyczna trójka pitagorejska \(3\text{-}4\text{-}5\)! > ⚠️ **Uwaga:** Po obliczeniu \(|S_1S_2| = 5\) pamiętaj, że szukasz \(r_1\), a \(r_2 = 4\) jest dane. Łatwo przez pomyłkę wpisać \(r_2\) zamiast wyliczyć \(r_1 = 5 - 4 = 1\). **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Warunek styczności zewnętrznej Z karty wzorów (Dział 8): dwa okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość między środkami równa się sumie promieni: \[|S_{1}S_{2}| = r + 4.\] Obliczamy odległość (wzór karta wzorów Dział 8): \[|S_{1}S_{2}| = \sqrt{(5-2)^{2} + (5-1)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.\] Zatem \(5 = r + 4 \Rightarrow r = 1\). ### Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski \(\Delta x = 3\), \(\Delta y = 4\), więc to klasyczna trójka \(3\text{-}4\text{-}5\) - odległość wynosi 5. Sumarycznie promienie muszą dać 5, więc \(r = 5 - 4 = 1\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(r=2\)** - dałoby \(|S_{1}S_{2}| = 6\), ale mamy 5. - **C. \(r=3\)** - dałoby \(|S_{1}S_{2}| = 7\). - **D. \(r=4\)** - dałoby \(|S_{1}S_{2}| = 8\). **Trik:** Dla styczności zewnętrznej \(d = r_{1} + r_{2}\); dla wewnętrznej \(d = |r_{1} - r_{2}|\). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/17) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F17) ## Podobne zadania - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_