# Matematyka — zadanie 18 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/18 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 18. (0-1) Długości boków trapezu równoramiennego są równe 12, 13, 2, 13. Wysokość h tego trapezu jest równa A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 Długości boków trapezu równoramiennego są równe 12, 13, 2, 13. Wysokość h trapezu jest równa A. 5, B. 8, C. 10, D. 12. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D (h = 12) ## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa (trójkąt pomocniczy) **Identyfikujemy boki trapezu.** Mamy trapez równoramienny o bokach 12, 13, 2, 13. - Podstawy (równoległe): \(a = 12\) i \(b = 2\) - Ramiona (równe): \(c = 13\) i \(c = 13\) **Opuszczamy wysokość** z wierzchołka krótszej podstawy na dłuższą. Tworzymy dwa trójkąty prostokątne po bokach trapezu. **Liczymy podstawę trójkąta pomocniczego.** Różnica podstaw: \[12 - 2 = 10\] Ponieważ trapez jest **równoramienny**, ta nadwyżka rozkłada się symetrycznie - po obu stronach: \[x = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5\] **Stosujemy twierdzenie Pitagorasa** w trójkącie prostokątnym o ramieniu 13, podstawie 5 i szukanej wysokości \(h\): \[13^2 = h^2 + 5^2\] \[169 = h^2 + 25\] \[h^2 = 169 - 25 = 144\] \[\boxed{h = \sqrt{144} = 12}\] Zauważ: to słynna **trójka pitagorejska 5-12-13**! ## Sposób 2 - Weryfikacja przez pole trapezu Liczymy pole trapezu ze wzoru ogólnego: \[P = \frac{(a + b)}{2} \cdot h = \frac{(12 + 2)}{2} \cdot 12 = \frac{14}{2} \cdot 12 = 7 \cdot 12 = 84\] Sprawdzamy inną drogą - sumujemy dwa trójkąty boczne i prostokąt środkowy: - Dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych 5 i 12: \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 60\) - Prostokąt środkowy \(2 \times 12\): \(2 \cdot 12 = 24\) - Łącznie: \(60 + 24 = 84\) ✓ Wyniki się zgadzają - **\(h = 12\)** jest poprawne. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyliśmy go w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(h\) i \(5\) oraz przeciwprostokątnej \(13\). **Dział 10 (Planimetria, s. 20)** - Pole trapezu: \[P = \frac{a + b}{2} \cdot h\] Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A (**5**) | Uczeń wyznaczył \(x = 5\) (podstawę trójkąta pomocniczego), ale zapomniał obliczyć wysokość - wziął \(x\) za \(h\) | | B (**8**) | Uczeń policzył \(\sqrt{13^2 - (12-2)^2} = \sqrt{169 - 100} = \sqrt{69} \approx 8{,}3\), tzn. **nie podzielił różnicy podstaw przez 2** - wziął całe 10 zamiast 5 | | C (**10**) | Uczeń wziął różnicę podstaw \(12 - 2 = 10\) jako wynik - pomylił nadwyżkę podstawy z wysokością | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Różnicę podstaw \((12 - 2 = 10)\) trzeba **podzielić przez 2**, bo trapez równoramienny jest symetryczny - nadwyżka rozkłada się po obu stronach. To najczęstszy błąd w tym typie zadania. > ⚠️ **Uwaga:** Ramię trapezu (\(13\)) to **przeciwprostokątna**, nie przyprostokątna trójkąta pomocniczego. Schemat: \(h^2 + x^2 = \text{ramię}^2\), a nie odwrotnie. > ⚠️ **Uwaga:** Warto pamiętać trójki pitagorejskie: \(3\text{-}4\text{-}5\), \(5\text{-}12\text{-}13\), \(8\text{-}15\text{-}17\). Gdy widzisz te liczby w zadaniu - od razu wiesz, że "ładnie wyjdzie"! **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa W trapezie równoramiennym z podstawami \(a = 12\), \(b = 2\) i ramionami \(c = 13\), wysokość spuszczona z wierzchołka górnej podstawy dzieli dolną podstawę na części: \(\tfrac{a-b}{2} = \tfrac{12-2}{2} = 5\) (krótsza odległość) oraz \(5 + 2 = 7\) Zaraz. Rysunek pokazuje, że **mniejsza podstawa może być 2**, wtedy wysokość tworzy z ramieniem \(13\) i częścią \(5\) trójkąt prostokątny: \[h^{2} + 5^{2} = 13^{2} \Rightarrow h^{2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow h = 12.\] ### Sposób 2 - Rozpoznanie trójki pitagorejskiej Trójka \((5, 12, 13)\) - klasyczna trójka pitagorejska. Jeśli jedna przyprostokątna to 5 i przeciwprostokątna 13, to druga przyprostokątna 12 = wysokość. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. 5** - to długość odcinka na podstawie, nie wysokość. - **B. 8** - pomyłka przy \(\sqrt{169-81}\) czy podobnym. - **C. 10** - błędne obliczenie. **Trik:** Trapez równoramienny → rysuj wysokości z wierzchołków krótszej podstawy, powstaje trójkąt prostokątny z przyprostokątną \(\tfrac{a-b}{2}\). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/18) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F18) ## Podobne zadania - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2020-egzamin-osmoklasisty/zad/20) — Zadanie 20. (0-3) Boisko szkolne ma kształt prostokąta o wymiarach 46 m i 30 m. Postanowiono posiać na nim trawę. Do obsiania 40 m2 powierzchni jest potrzebny j - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) Na trawniku w kształcie kwadratu o boku długości 9 metrów wytyczono kwietnik w kształcie prostokąta tak, że jego boki są równoległe do boków t - [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/13) — Zadanie 13. (0-1) Przekątna 𝐴𝐷 dzieli pięciokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 na trójkąt 𝐴𝐷𝐸 i na kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Pole trójkąta 𝐴𝐷𝐸 jest równe 28, a wysokość poprowadzon - [Zadanie 22.2](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2508/zad/22.2) — Dany jest trójkąt ABC , w którym |AB| = 6 , |AC| = 4 oraz |∡CAB| = \(60^{\circ}\) /matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-100-2508/z22_2.png . C 4 \(60^{\circ}\) A 6 B D _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_