# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 19. (0-1)
Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku
4
:
3
:
3
:
2
. Wynika stąd, że
najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
A.
B.
C.
D.
Miara kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku 2:3:3:4. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę A. 60°, B. 50°, C. 40°, D. 30°.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(60°\)

## Sposób 1 - Stosunek kątów i suma kątów czworokąta

**Kluczowy fakt:** Suma kątów każdego czworokąta wynosi \(360°\).

Stosunek kątów to \(2:3:3:4\), więc zapiszmy kąty jako:
\[2x,\quad 3x,\quad 3x,\quad 4x\]

Suma musi wynosić \(360°\):
\[2x + 3x + 3x + 4x = 360°\]
\[12x = 360°\]
\[x = 30°\]

Kąty czworokąta wynoszą zatem:
\[2x = 60°, \quad 3x = 90°, \quad 3x = 90°, \quad 4x = 120°\]

**Najmniejszy kąt to \(2x = 60°\).**

## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie sumy)

Obliczamy sumę wyznaczonych kątów:
\[60° + 90° + 90° + 120° = 360°\checkmark\]

Sprawdzamy też, czy stosunek się zgadza:
\[60:90:90:120 = 2:3:3:4\checkmark\]

Wszystko się zgadza - **odpowiedź A jest poprawna**.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji: suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi \(360°\) (fakty z geometrii elementarnej, niewymagające karty wzorów).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B. \(50°\) | Uczeń przyjmuje sumę kątów \(300°\) lub błędnie liczy \(12x = 300°\), co daje \(x = 25°\), a \(2x = 50°\) |
| C. \(40°\) | Uczeń przyjmuje sumę kątów \(240°\) (myląc z trójkątem \(180°\) powiększonym) lub liczy \(12x = 240°\), co daje \(x = 20°\), a \(2x = 40°\) |
| D. \(30°\) | Uczeń odczytuje \(x = 30°\) jako wynik i podaje wartość \(x\) zamiast najmniejszego kąta \(2x = 60°\) - klasyczna pułapka! |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to podanie wartości \(x = 30°\) jako odpowiedzi - to jest jednostka proporcji, a nie kąt! Najmniejszy kąt to \(2x\), nie \(x\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić sumy kątów czworokąta (\(360°\)) z sumą kątów trójkąta (\(180°\)). To błąd, który prowadzi prosto do odpowiedzi C lub B.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź na końcu, czy suma wyznaczonych kątów rzeczywiście wynosi \(360°\) - zajmuje to 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Suma kątów w czworokącie
Suma miar kątów w czworokącie wynosi \(360^{\circ}\) (karta wzorów, Dział 9).
Niech kąty to \(2x, 3x, 3x, 4x\). Wtedy:
\[2x + 3x + 3x + 4x = 360^{\circ}\]
\[12x = 360^{\circ}\]
\[x = 30^{\circ}.\]
Najmniejszy kąt (\(2x\)) ma miarę \(2\cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\).

### Sposób 2 - Proporcja
\(360^{\circ}\) dzielimy na \(2+3+3+4 = 12\) równych części; każda ma \(30^{\circ}\). Najmniejszy kąt składa się z 2 części: \(2\cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(50^{\circ}\)** - byłoby to dla sumy 300°.
- **C. \(40^{\circ}\)** - dla sumy 240°.
- **D. \(30^{\circ}\)** - to wartość samego \(x\), nie \(2x\).

**Trik:** Czworokąt = 360°; trójkąt = 180°; pięciokąt = 540°.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_