# Matematyka — zadanie 2

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/2
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste, logarytmy

## Treść

Zadanie 2. (0-1)
Dane są liczby:
1
4
4
2
1
log 8,
log 8,
log 2
a
b
c
. Liczby te spełniają warunek
A. a
b
c
>
>
B. b
a
c
>
>
C. c
b
a
>
>
D. b
c
a
>
>
Dane są liczby: a = log_{1/2} 8, b = log_4 8, c = log_4 1/2. Liczby te spełniają warunek A. a > b > c, B. b > a > c, C. c > b > a, D. b > c > a.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

\(b > c > a\), bo \(\frac{3}{2} > -\frac{1}{2} > -3\)

## Sposób 1 - Zamiana podstawy logarytmu na wspólną (log₂)

Obliczamy każdą z trzech liczb, zamieniając podstawę na \(\log_2\) (bo 8, 4, \(\frac{1}{2}\) to potęgi 2).

**Liczba \(a = \log_{\frac{1}{2}} 8\):**

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy. Zauważamy, że \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\) oraz \(8 = 2^3\):
\[a = \log_{2^{-1}} 2^3 = \frac{3}{-1} = -3\]

*(bo \(\log_{a^m} a^n = \frac{n}{m}\))*

**Liczba \(b = \log_4 8\):**

\(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\):
\[b = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2}\]

**Liczba \(c = \log_4 \frac{1}{2}\):**

\(4 = 2^2\), \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\):
\[c = \log_{2^2} 2^{-1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}\]

**Porównanie:**
\[a = -3, \quad c = -\frac{1}{2}, \quad b = \frac{3}{2}\]
\[-3 < -\frac{1}{2} < \frac{3}{2}\]

Zatem: **\(b > c > a\)** ✓

## Sposób 2 - Definicja logarytmu (odczytanie wartości wprost)

Pytamy siebie: na jaką potęgę podnieść podstawę, żeby dostać argument?

**Liczba \(a = \log_{\frac{1}{2}} 8\):**

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{?} = 8\). Podstawa jest mniejsza od 1, a argument \(8 > 1\) - to wymaga wykładnika ujemnego. Konkretnie:
\[\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad a = -3\]

**Liczba \(b = \log_4 8\):**

\(4^{?} = 8\). Mamy \(4^1 = 4 < 8 < 16 = 4^2\), więc \(b \in (1, 2)\). Dokładnie:
\[4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{3}{2}\]

**Liczba \(c = \log_4 \frac{1}{2}\):**

\(4^{?} = \frac{1}{2}\). Argument jest mniejszy od 1, podstawa większa od 1 - wykładnik musi być ujemny:
\[4^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad c = -\frac{1}{2}\]

Wynik taki sam:
\[b = \frac{3}{2} > c = -\frac{1}{2} > a = -3\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**

Definicja logarytmu:
\[\log_a b = c \iff a^c = b\]
Użyta do odczytania wartości \(a, b, c\) wprost z definicji (Sposób 2).

Zmiana podstawy:
\[\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}\]
Użyta w Sposobie 1 do sprowadzenia wszystkich logarytmów do podstawy 2.

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**

Działania na potęgach:
\[(a^r)^s = a^{r \cdot s}, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]
Użyte do upraszczania wyrażeń typu \((2^2)^{3/2} = 2^3\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| **A** \(a > b > c\) | Uczeń myli kierunek nierówności przy ujemnej podstawie lub ujemnym wykładniku i "odwraca" kolejność - zapisuje wartości od najmniejszej do największej zamiast od największej |
| **B** \(b > a > c\) | Uczeń oblicza \(b\) poprawnie, ale dla \(a = \log_{1/2}8\) wychodzi mu wartość dodatnia (np. \(+3\) - zapomina o ujemnym wykładniku przy podstawie \(\frac{1}{2}\)), a \(c\) traktuje jako najmniejsze |
| **C** \(c > b > a\) | Uczeń odwraca całą kolejność - np. "im mniejsza podstawa, tym większy logarytm" i porządkuje liczby od prawej do lewej |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy podstawa logarytmu jest z przedziału \((0,1)\), logarytm z liczby **większej od 1** jest **ujemny** - to odwrotnie niż przy "normalnych" podstawach! Tu \(\log_{1/2} 8 = -3 < 0\), bo \(\frac{1}{2}^{-3} = 8\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(\log_{2^m} 2^n = \frac{n}{m}\) pamiętaj, że wykładnik w mianowniku pochodzi z **podstawy**, nie z argumentu. Łatwo je pomylić w pośpiechu.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie porównuj logarytmów "na oko" po samym wyglądzie podstawy i argumentu - zawsze oblicz konkretną wartość liczbową, zanim zaczniesz porównywać.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Obliczenie każdego logarytmu
Korzystamy z definicji \(\log_{a} b = c \iff a^{c} = b\) (karta wzorów):
- \(a = \log_{1/2} 8\): szukamy \(x\) takiego, że \((\tfrac{1}{2})^{x} = 8\). Skoro \(8 = 2^{3}\) i \((\tfrac{1}{2})^{-3} = 2^{3}\), to \(a = -3\).
- \(b = \log_{4} 8\): szukamy \(x\) takiego, że \(4^{x} = 8\), czyli \(2^{2x} = 2^{3}\), więc \(b = \tfrac{3}{2}\).
- \(c = \log_{4} \tfrac{1}{2}\): \(4^{x} = \tfrac{1}{2}\), \(2^{2x} = 2^{-1}\), więc \(c = -\tfrac{1}{2}\).

Porządek: \(b = 1{,}5 > c = -0{,}5 > a = -3\), czyli \(b > c > a\).

### Sposób 2 - Porównanie znaków
- \(a\) ma podstawę \(<1\) i argument \(>1\), więc \(a < 0\).
- \(b\) ma podstawę \(>1\) i argument \(>1\), więc \(b > 0\).
- \(c\) ma podstawę \(>1\) i argument \(<1\), więc \(c < 0\).
Największy jest \(b\). Pozostaje porównać \(a\) i \(c\): \(a = -3\), \(c = -\tfrac{1}{2}\), zatem \(c > a\). Wynik: \(b > c > a\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, B.** \(a\) nie jest największe (jest wręcz najmniejsze).
- **C.** \(c\) nie jest największe - to \(b\) jest największe.

**Trik:** Znaki logarytmów z podstawą \(a\) i argumentem \(x\): dodatni gdy oba \(>1\) lub oba \(<1\); ujemny w przeciwnym razie.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/2)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F2)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Liczby 𝑥 oraz 𝑦 są całkowite i dodatnie. W wyniku dzielenia liczby 𝑥 przez liczbę 𝑦 otrzymano iloraz 20 i resztę 26. Dokończ zdanie. Wybierz wł
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba √-64 3 + √27 3 √-32 5 jest równa A. (-2) B. (-1 2) C. 1 2 D. 2 Liczba ∛-64}
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/2) — Zadanie 2. (0-1) Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu 𝑌𝑋𝑋𝑌, gdzie 𝑋 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a 𝑌 jest najmniejszą
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-1) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Iloczyn 2 ⋅log3 5 jest równ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_