# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Stereometria, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 20. (0-1)
Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca
jest równa
π
27
. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy
A. 9
B. 6
C. 3
D. 2
Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa 27\pi. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy A. 9, B. 6, C. 3, D. 2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C (promień = 3)

## Sposób 1 - podstawienie z warunku i równanie sześcienne

**Dane:** wysokość walca \(h\) jest równa promieniowi podstawy \(r\), czyli \(h = r\).

Wzór na objętość walca:
\[V = \pi r^2 h\]

Podstawiamy \(h = r\):
\[V = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3\]

Przyrównujemy do danej objętości:
\[\pi r^3 = 27\pi\]

Dzielimy obie strony przez \(\pi\):
\[r^3 = 27\]

Wyciągamy pierwiastek sześcienny:
\[r = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3\]

**Zatem promień podstawy walca wynosi \(r = 3\).**

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, czy \(r = 3\) i \(h = 3\) daje objętość \(27\pi\):
\[V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 3 = \pi \cdot 9 \cdot 3 = 27\pi \checkmark\]

Wynik się zgadza.

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość walca:
\[V = \pi r^2 h\]
Użyliśmy tego wzoru po podstawieniu warunku \(h = r\), co dało równanie \(\pi r^3 = 27\pi\).

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek sześcienny:
\[r = \sqrt[3]{27} = 3\]
Wyciągamy pierwiastek z obu stron równania \(r^3 = 27\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A (9) | Pominięto całkowicie warunek \(h = r\) i użyto wzoru \(V = \pi r^2\) (pole koła zamiast objętości) lub pomylono \(\pi r^3 = 27\pi\) z \(r^2 = 27\) i wzięto \(r = 27/3 = 9\) |
| B (6) | Błędnie obliczono \(r^3 = 27\) jako \(r = 27/\sqrt{3} \approx \) coś lub dodano zamiast mnożyć \(h\) w objętości |
| D (2) | Wzięto \(r^3 = 8\) zamiast \(r^3 = 27\), np. przez pomylenie \(27\pi\) z \(8\pi\), lub podzielono 27 przez 3 zamiast wyciągać pierwiastek |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie o podstawieniu \(h = r\) - uczniowie często liczą \(V = \pi r^2 h\) i nie wiedzą, jak pozbyć się \(h\). Warunek z treści zadania musi wejść do wzoru jako pierwsze działanie!

> ⚠️ **Uwaga:** \(\sqrt[3]{27} = 3\), bo \(3^3 = 27\) - nie \(\sqrt{27}\)! Tutaj potrzebny jest pierwiastek **sześcienny**, nie kwadratowy.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie skracaj \(\pi\) zbyt wcześnie - zadbaj o to, żeby \(\pi\) pojawiło się po obu stronach równania, zanim je podzielisz. Wtedy \(\pi r^3 = 27\pi \Rightarrow r^3 = 27\) i dalej już z górki.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wzór na objętość walca
Z karty wzorów (Dział 11): \(V = \pi r^{2} h\). Z warunku \(h = r\):
\[V = \pi r^{2}\cdot r = \pi r^{3}.\]
Z równości \(\pi r^{3} = 27\pi\):
\[r^{3} = 27 \Rightarrow r = 3.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
C: \(r = 3\), \(h = 3\), \(V = \pi\cdot 9\cdot 3 = 27\pi\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. 9** - \(V = \pi\cdot 9^{3} = 729\pi\), zbyt duże.
- **B. 6** - \(V = \pi\cdot 216 = 216\pi\).
- **D. 2** - \(V = \pi\cdot 8 = 8\pi\), zbyt małe.

**Trik:** Pierwiastek sześcienny z 27 to 3. Przydatne liczby: \(2^{3}=8\), \(3^{3}=27\), \(4^{3}=64\), \(5^{3}=125\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie 
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_