# Matematyka — zadanie 21 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/21 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 1 - działy: Stereometria ## Treść Zadanie 21. (0-1) Stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy A. 4 3 B. 12 C. 17 D. 4 Stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy A. 4/3; B. 12; C. √17; D. 4. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D \(\operatorname{tg}\alpha = 4\) ## Sposób 1 - Przyrównanie objętości, wyznaczenie wysokości **Krok 1: Zapisz objętości.** Niech stożek ma promień podstawy \(r\) i wysokość \(h\). \[V_{\text{stożek}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h, \qquad V_{\text{kula}} = \frac{4}{3}\pi r^3\] **Krok 2: Przyrównaj objętości (warunek zadania).** \[\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{4}{3}\pi r^3\] Obie strony dzielę przez \(\frac{1}{3}\pi r^2\) (bo \(r > 0\)): \[h = 4r\] **Krok 3: Wyznacz tangens kąta między tworzącą a podstawą.** Kąt \(\alpha\) między tworzącą a płaszczyzną podstawy to kąt przy wierzchołku trójkąta prostokątnego, gdzie: - ramię przy podstawie = promień \(r\) (rzut tworzącej na podstawę), - ramię pionowe = wysokość \(h\). \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{h}{r} = \frac{4r}{r} = \boxed{4}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez długość tworzącej Obliczamy długość tworzącej: \[l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + (4r)^2} = \sqrt{r^2 + 16r^2} = r\sqrt{17}\] Sprawdzamy \(\operatorname{tg}\alpha\) przez iloraz boków trójkąta prostokątnego (kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym przy podstawie): \[\sin\alpha = \frac{h}{l} = \frac{4r}{r\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}}, \qquad \cos\alpha = \frac{r}{l} = \frac{r}{r\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}}\] \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4}{\sqrt{17}}}{\frac{1}{\sqrt{17}}} = 4 \checkmark\] Wynik zgodny - **odpowiedź D jest poprawna**. ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** Objętość stożka: \[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\] Objętość kuli: \[V = \frac{4}{3}\pi r^3\] Oba wzory kluczowe w Kroku 1 - bez nich nie wyznaczamy wysokości \(h\). **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna kąta}}{\text{przyprostokątna przy kącie}} = \frac{h}{r}\] użyta w Kroku 3. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A: \(\dfrac{4}{3}\) | Zapomniano o \(\dfrac{1}{3}\) w objętości stożka: błędnie \(\pi r^2 h = \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow h = \frac{4r}{3} \Rightarrow \operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{3}\) | | B: \(12\) | Błąd arytmetyczny przy wyznaczaniu \(h\) lub pomieszanie wzorów na objętość | | C: \(\sqrt{17}\) | Obliczono \(\dfrac{l}{r} = \dfrac{r\sqrt{17}}{r} = \sqrt{17}\) - to jest stosunek tworzącej do promienia, **nie** tangens kąta | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\(\sqrt{17}\)) to długość tworzącej podzielona przez \(r\) - uczniowie mylą ją z tangensem, bo "coś liczyli ze wzoru Pitagorasa". Tangens to \(\frac{h}{r}\), a nie \(\frac{l}{r}\). > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o \(\frac{1}{3}\) w objętości stożka - to jeden z najczęstszych błędów na maturze. Zawsze sprawdź wzór na karcie! > ⚠️ **Uwaga:** Kąt między tworzącą a **płaszczyzną podstawy** (nie osią!) - to kąt przy *podstawie* trójkąta prostokątnego z bokami \(r\), \(h\), \(l\). Nie pomyl z kątem przy wierzchołku stożka! **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Porównanie objętości Z karty wzorów (Dział 11): - Objętość stożka: \(V_{st} = \tfrac{1}{3}\pi r^{2}h\), gdzie \(h\) to wysokość stożka. - Objętość kuli: \(V_{k} = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}\). Z równości \(V_{st} = V_{k}\): \[\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} \Rightarrow h = 4r.\] Kąt \(\alpha\) między tworzącą a płaszczyzną podstawy: w trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość \(h\), promień \(r\) i tworzącą, kąt \(\alpha\) jest przy podstawie. Tangens: \[\mathrm{tg}\,\alpha = \tfrac{h}{r} = \tfrac{4r}{r} = 4.\] ### Sposób 2 - Intuicja stosunku wysokości do promienia Stosunek \(\tfrac{h}{r} = 4\) daje bezpośrednio tangens kąta nachylenia tworzącej do podstawy. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\tfrac{4}{3}\)** - pomylono z \(\tfrac{V_{k}}{V_{st}}\) itp. - **B. 12** - nadmiar. - **C. \(\sqrt{17}\)** - ktoś policzył długość tworzącej \(\sqrt{h^{2}+r^{2}} = \sqrt{16+1}\cdot r = r\sqrt{17}\). To tworząca, nie tangens. **Trik:** W stożku \(\mathrm{tg}(\text{kąt nachylenia tworzącej}) = \tfrac{\text{wysokość}}{\text{promień}}\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/21) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F21) ## Podobne zadania - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (6 pkt) Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe 378 . π Oblicz objętość walca. 10 Ar - [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1 - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest n - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-5) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy . Przekątne podstawy ABCD prz _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_