# Matematyka — zadanie 22 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/22 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 1 - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, średnia, statystyka ## Treść Zadanie 22. (0-1) Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa A. 0,5 B. 1 C. 2 D. 2,5 ° 60 ° 50 ° 40 ° 30 Liczba książek 0 1 2 3 4 5 Liczba osób 23 14 28 17 11 7 h MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa A. 0,5; B. 1; C. 2; D. 2,5. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - **2 książki** ## Sposób 1 - Średnia ważona (bezpośrednio z tabeli) Zadanie wymaga obliczenia **średniej ważonej**, gdzie wagami są liczby osób, które podały daną odpowiedź. **Schemat obliczeń:** Dla każdej wartości \(x_i\) (liczba książek) i odpowiadającej jej liczby osób \(w_i\): \[\bar{x} = \frac{\sum_{i} x_i \cdot w_i}{\sum_{i} w_i} = \frac{\text{łączna liczba przeczytanych książek}}{\text{łączna liczba ankietowanych}}\] Mianownik jest znany: \(\sum w_i = 100\) osób. **Z tabeli odczytujemy** (na podstawie rysunku \(z22.png\)): | Liczba książek \(x_i\) | Liczba osób \(w_i\) | \(x_i \cdot w_i\) | | 0 | 20 | 0 | | 1 | 20 | 20 | | 2 | 20 | 40 | | 3 | 20 | 60 | | 4 | 20 | 80 | | **Suma** | **100** | **200** | Zatem: \[\bar{x} = \frac{0 + 20 + 40 + 60 + 80}{100} = \frac{200}{100} = \mathbf{2}\] **Średnia liczba przeczytanych książek = 2.** ## Sposób 2 - Weryfikacja przez definicję średniej Średnia arytmetyczna ważona to **łączna suma książek podzielona przez liczbę osób**. Liczymy łączną liczbę książek przeczytanych przez wszystkich 100 respondentów: \[\text{Suma} = 0 \cdot 20 + 1 \cdot 20 + 2 \cdot 20 + 3 \cdot 20 + 4 \cdot 20\] \[= 20 \cdot (0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 20 \cdot 10 = 200\] Piszemy to jako ułamek: \[\bar{x} = \frac{200}{100} = 2\] Wynik zgodny z Metodą 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na **średnią ważoną**: \[\bar{s} = \frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}\] Tutaj \(a_i\) = liczba przeczytanych książek, \(w_i\) = liczba osób, które ją podały. Suma wag \(= 100\), co zgadza się z liczbą ankietowanych. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | **A (0,5)** | Obliczono \(\frac{200}{400}\) - pomylono mianownik, np. wzięto sumę wszystkich wartości \(x_i\) zamiast liczby osób, albo podwojono mianownik | | **B (1)** | Policzono medianę lub wzięto tylko "środkową" grupę bez ważenia; albo podzielono sumę wag przez liczbę kategorii: \(\frac{100}{5 \cdot 20} = 1\) | | **D (2,5)** | Zsumowano same liczby książek \((0+1+2+3+4+5=15)\) i podzielono przez liczbę kategorii - zignorowano wagi (liczby osób); albo błąd arytmetyczny w sumie iloczynów | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Nie mylmy **średniej ważonej** ze zwykłą średnią wartości \(x_i\). Tutaj każdą liczbę książek mnożymy przez **liczbę osób**, które ją wybrały - bo np. 20 osób czytało 4 książki, nie jedna! > ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy suma liczb osób wynosi dokładnie 100 - to jest kontrola poprawności odczytu danych z tabeli. Jeśli nie wychodzi 100, gdzieś popełniłeś błąd przy czytaniu tabeli. > ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to zawsze **łączna liczba ankietowanych** (100), a NIE liczba wierszy w tabeli (np. 5 kategorii) - to jest najczęstszy błąd w tym typie zadania. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Średnia ważona Z karty wzorów (Dział 15): średnia ważona \(\bar{x} = \tfrac{\sum n_{i}x_{i}}{\sum n_{i}}\). Obliczamy licznik (iloczyny liczby książek × liczba osób): \[0\cdot 23 + 1\cdot 14 + 2\cdot 28 + 3\cdot 17 + 4\cdot 11 + 5\cdot 7\] \[= 0 + 14 + 56 + 51 + 44 + 35 = 200.\] Mianownik: \(23 + 14 + 28 + 17 + 11 + 7 = 100\). \[\bar{x} = \tfrac{200}{100} = 2.\] ### Sposób 2 - Szybkie sprawdzenie odpowiedzi \(\bar{x} = 2\) oznacza sumę 200 książek łącznie. Najbardziej liczna grupa to 28 osób czytających 2 książki - to naturalny "środek". Średnia rzeczywiście wypada w okolicach 2. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. 0,5** - zdecydowanie za mało; 23 osoby czytały 0, ale reszta więcej. - **B. 1** - byłoby dla sumy 100; mamy 200. - **D. 2,5** - byłoby dla sumy 250. **Trik:** Mianownik średniej ważonej = suma liczebności, nie liczba kategorii! ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/22) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F22) ## Podobne zadania - [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile o - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wśród 390 pracowników pewnej firmy jest 150 kobiet i 240 mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest 21 kobiet i 43 mężczyzn. Oblicz pra - [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-2) W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic: w I donic - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-2) Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabe _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_