# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Zadanie 23. (0-1)
Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego
wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa
jest równa
A. 9
B. 7
C. 6
D. 5
Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa A. 9, B. 7, C. 6, D. 5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A (9 krawędzi)

## Sposób 1 - Wzory na graniastosłup n-kątny

**Przypomnijmy budowę graniastosłupa prostego o podstawie \(n\)-kąta:**

- Liczba **wierzchołków**: \(2n\) (po \(n\) w każdej podstawie)
- Liczba **krawędzi**: \(3n\) (\(n\) w górnej podstawie + \(n\) w dolnej + \(n\) krawędzi bocznych)
- Liczba **ścian**: \(n + 2\)

**Układamy równanie według treści zadania:**

\[\text{krawędzie} + \text{wierzchołki} = 15\]

\[3n + 2n = 15\]

\[5n = 15\]

\[n = 3\]

**Zatem podstawą graniastosłupa jest trójkąt - to graniastosłup trójkątny.**

Liczba krawędzi:
\[3n = 3 \cdot 3 = \mathbf{9}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie i sprawdzenie wzoru Eulera

Sprawdźmy, czy graniastosłup trójkątny spełnia warunek zadania:

| Element | Wzór | Wartość |
| Wierzchołki | \(2n = 2 \cdot 3\) | \(6\) |
| Krawędzie | \(3n = 3 \cdot 3\) | \(9\) |
| Ściany | \(n + 2 = 5\) | \(5\) |

Sprawdzenie warunku:
\[9 + 6 = 15 \checkmark\]

**Wzór Eulera** dla wielościanów:
\[W - K + S = 2\]
\[6 - 9 + 5 = 2 \checkmark\]

Wszystko się zgadza - graniastosłup trójkątny ma **9 krawędzi**.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa i prosta algebra. Wzory na liczby wierzchołków, krawędzi i ścian graniastosłupa \(n\)-kątnego (\(2n\), \(3n\), \(n+2\)) to wiedza geometryczna, którą należy znać.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B (7) | Brak konkretnego graniastosłupa o tej liczbie krawędzi - \(3n = 7\) nie ma rozwiązania całkowitego |
| C (6) | To liczba **wierzchołków** graniastosłupa trójkątnego - zamiana krawędzi z wierzchołkami |
| D (5) | To liczba **ścian** graniastosłupa trójkątnego - pomylenie krawędzi ze ścianami |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić krawędzie, wierzchołki i ściany. Zapamiętaj: graniastosłup \(n\)-kątny ma \(3n\) krawędzi (nie \(2n\) ani \(n+2\)).

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi C i D to prawdziwe liczby związane z tym samym graniastosłupem - egzaminatorzy celowo podają je jako "pułapki" dla uczniów, którzy coś obliczą, ale pomylą co obliczyli.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy układaniu równania nie zapomnij, że krawędzi bocznych też jest \(n\) - łącznie mamy \(n + n + n = 3n\), a nie \(n + n = 2n\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Wzory dla graniastosłupa \(n\)-kątnego
Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma:
- liczba wierzchołków \(W = 2n\),
- liczba krawędzi \(K = 3n\) (\(n\) dolnych + \(n\) górnych + \(n\) bocznych).

Z warunku \(K + W = 15\):
\[3n + 2n = 15 \Rightarrow 5n = 15 \Rightarrow n = 3.\]
Liczba krawędzi: \(K = 3\cdot 3 = 9\).

### Sposób 2 - Sprawdzenie
\(n = 3\) to graniastosłup trójkątny: 6 wierzchołków, 9 krawędzi. Suma \(6 + 9 = 15\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. 7, C. 6, D. 5** - żadna z tych liczb nie jest postaci \(3n\). Liczba krawędzi graniastosłupa musi być podzielna przez 3.

**Trik:** Graniastosłup \(n\)-kątny: \(2n\) wierzchołków, \(3n\) krawędzi, \(n+2\) ściany.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie 
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_