# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Kombinatoryka, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 24. (0-1)
Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują
cyfry 0 i 2, jest równa
A. 8 8 8 3
⋅⋅⋅
B. 8 7 6 3
⋅⋅⋅
C. 8 10 10 4
⋅
⋅
⋅
D. 9 8 7 4
⋅⋅⋅
Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa A. 8⋅8⋅8⋅3; B. 8⋅7⋅6⋅3; C. 8⋅10⋅10⋅4; D. 9⋅8⋅7⋅4.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 3\)

## Sposób 1 - Mnożenie po pozycjach (reguła mnożenia)

**Krok 1: Ustal dostępne cyfry.**

Cyfry niedozwolone: \(0\) i \(2\).
Dostępne cyfry: \(\{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) - łącznie **8 cyfr**.

**Krok 2: Wyodrębnij dostępne cyfry parzyste (potrzebne na ostatniej pozycji).**

Parzyste z dostępnych: \(\{4, 6, 8\}\) - łącznie **3 cyfry**.

**Krok 3: Policz możliwości dla każdej pozycji.**

Liczba czterocyfrowa ma postać \(\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}\):

| Pozycja | Cyfra musi być | Liczba wyborów |
| \(d_1\) (tysiące) | z \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) | **8** |
| \(d_2\) (setki) | z \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) | **8** |
| \(d_3\) (dziesiątki) | z \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) | **8** |
| \(d_4\) (jedności) | parzysta: z \(\{4,6,8\}\) | **3** |

> Zadanie nie mówi o różnych cyfrach - powtórzenia są dozwolone!

**Krok 4: Zastosuj regułę mnożenia.**

\[8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 3 = 512 \cdot 3 = \mathbf{1536}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie liczenie grup

Podziel ze względu na ostatnią cyfrę (jedności):

- Liczby kończące się na **4**: \(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 1 = 512\)
- Liczby kończące się na **6**: \(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 1 = 512\)
- Liczby kończące się na **8**: \(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 1 = 512\)

Grupy są rozłączne (inna ostatnia cyfra), więc sumujemy:
\[512 + 512 + 512 = 3 \cdot 512 = \mathbf{1536}\]

Wynik zgodny z Odpowiedzią A: \(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 3 = 1536\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - reguła mnożenia (wariacje z powtórzeniami):
\[n^k\]
Każdą z \(k\) pozycji wypełniamy niezależnie spośród \(n\) możliwości. Tu mamy trzy pozycje po 8 możliwości i jedną z 3 - stąd \(8^3 \cdot 3\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | \(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 3\) - zakłada, że **cyfry muszą być różne** (bez powtórzeń). Zadanie tego nie wymaga. |
| C | \(8 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 4\) - zapominamy wykluczyć \(0\) i \(2\) z pozycji środkowych (brane wszystkie 10 cyfr), a ostatnia pozycja zawiera \(0\) lub \(2\) wśród parzystych. |
| D | \(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4\) - zlicza cyfry jak gdyby wykluczano tylko \(0\) (9 cyfr na start), a wśród parzystych uwzględnia \(2\) (cztery parzyste: \(2,4,6,8\)). |

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Cyfry parzyste to \(0, 2, 4, 6, 8\) - ale **0 i 2 są zakazane**, więc zostają tylko \(4, 6, 8\). Łatwo zapomnieć wykluczyć \(2\) z listy parzystych i wziąć 4 zamiast 3.

> ⚠️ **Uwaga:** Skoro zadanie **nie mówi "cyfry parami różne"**, wolno powtarzać - wszystkie trzy pierwsze pozycje mają pełne 8 możliwości, nie 8, 7, 6.

> ⚠️ **Uwaga:** Na pierwszej pozycji cyfra \(0\) jest wykluczona zarówno przez warunek zadania (nie może wystąpić \(0\)), jak i przez definicję liczby czterocyfrowej. W tym zadaniu oba wykluczenia pokrywają się - nie trzeba osobno o tym pamiętać.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Zasada mnożenia
Liczba czterocyfrowa \(abcd\). Cyfry dostępne ogólnie to \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) (8 cyfr - bez 0 i 2). Liczba parzysta wymaga \(d\) parzystego, czyli \(d\in\{4, 6, 8\}\) - 3 możliwości.
- \(a\): pierwsza cyfra, niezerowa (i tak 0 wykluczone), 8 możliwości.
- \(b\): dowolna dozwolona, 8 możliwości.
- \(c\): dowolna dozwolona, 8 możliwości.
- \(d\): parzysta z dozwolonych - \(\{4, 6, 8\}\), 3 możliwości.

Łącznie: \(8\cdot 8\cdot 8\cdot 3\).

### Sposób 2 - Analiza opcji
Cyfry zakazane: 0 i 2. Dopuszczalne: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (osiem cyfr). Parzyste z nich: 4, 6, 8 (trzy).
Dla cyfr \(a, b, c\) (pozycje dowolne): każda z 8 cyfr dopuszczalna (powtórzenia dopuszczalne). Dla cyfry \(d\) (jedności): 3 parzyste.
Daje to \(8^{3}\cdot 3 = 8\cdot 8\cdot 8\cdot 3\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(8\cdot 7\cdot 6\cdot 3\)** - zakłada brak powtórzeń, ale zadanie tego nie wymaga.
- **C. \(8\cdot 10\cdot 10\cdot 4\)** - używa 10 cyfr (łącznie z 0 i 2) oraz 4 parzyste (łącznie z 0 i 2).
- **D. \(9\cdot 8\cdot 7\cdot 4\)** - różne błędy: 9 dla pierwszej cyfry (za 0 ale 2 niewykluczone), różna logika.

**Trik:** "Powtórzenia dozwolone" → mnożenie tych samych możliwości; "bez powtórzeń" → malejące.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-4) Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwi
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (4 pkt) Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki. Odpowie
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki: na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2 cy
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Wśród 𝑛 osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te 𝑛 osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_