# Matematyka — zadanie 25

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/25
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 25. (0-1)
W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną
kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy
w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe
A.
1
16
B.
3
8
C. 1
4
D. 3
4

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe A. 1/16; B. 3/8; C. 1/4; D. 3/4.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(\dfrac{1}{4}\)

## Sposób 1 - Schemat Bernoullego

**Identyfikujemy parametry:**

Mamy pudełko z 2 kulami (czarna + biała). Losujemy **ze zwracaniem**, więc każde losowanie jest niezależne.

- Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli: \(p = \frac{1}{2}\)
- Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli: \(q = 1 - p = \frac{1}{2}\)
- Liczba losowań: \(n = 4\)
- Szukamy: dokładnie \(k = 3\) białych kul

Stosujemy wzór na schemat Bernoullego:

\[P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

Podstawiamy:

\[P_4(3) = \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-3}\]

\[P_4(3) = 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2}\]

\[P_4(3) = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \boxed{\frac{1}{4}}\]

## Sposób 2 - Bezpośrednie liczenie przypadków

**Liczymy ręcznie, bez wzoru.**

Każde losowanie daje wynik B (biała) lub C (czarna). Po 4 losowaniach mamy \(2^4 = 16\) równo prawdopodobnych wyników.

Szukamy przypadków z dokładnie 3 białymi i 1 czarną. Czarna kula może wypaść na **1., 2., 3. lub 4. losowaniu** - to daje 4 możliwości:

| Losowanie | Układ |
| Czarna na 1. miejscu | C B B B |
| Czarna na 2. miejscu | B C B B |
| Czarna na 3. miejscu | B B C B |
| Czarna na 4. miejscu | B B B C |

Mamy **4 sprzyjające przypadki** na 16 możliwych:

\[P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\]

**Wynik zgodny z Metodą 1.**

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - Schemat Bernoullego:

\[P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

Stosujemy go gdy: mamy \(n\) **niezależnych** prób, w każdej sukces z prawdopodobieństwem \(p\), i szukamy **dokładnie** \(k\) sukcesów.

**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6):**

\[\binom{4}{3} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 4\]

Symbol Newtona \(\binom{4}{3}\) mówi nam, na ile sposobów można wybrać 3 losowania (te z białą kulą) spośród 4.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A. \(\frac{1}{16}\) | Pominięto symbol Newtona - policzono tylko \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{16}\), zapominając pomnożyć przez liczbę układów \(\binom{4}{3} = 4\) |
| B. \(\frac{3}{8}\) | Błędnie przyjęto \(p = \frac{3}{4}\) albo pobieżnie policzono \(3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\), myl\-ąc liczbę układów z prawdopodobieństwem jednego układu |
| D. \(\frac{3}{4}\) | Policzono prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego lub pomylono \(p\) z \(q\) w środkowym członie wzoru |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie \(\binom{n}{k}\) - uczniowie liczą samo \(p^k \cdot q^{n-k}\), dostając odpowiedź A. Pamiętaj: wzór Bernoullego ma **trzy czynniki**, nie dwa!

> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie **ze zwracaniem** jest kluczowe - gwarantuje niezależność prób i stałe \(p = \frac{1}{2}\) w każdym losowaniu. Gdyby było **bez zwracania**, schemat Bernoullego by nie działał.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy \(p + q = 1\). Tu \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) ✓. Jeśli warunek nie jest spełniony - popełniłeś błąd w odczytaniu zadania.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Kombinatoryczne zliczanie
Przestrzeń zdarzeń: \(|\Omega| = 2^{4} = 16\) równoważnych ciągów.
Zdarzenie \(A\): dokładnie 3 białe i 1 czarna w 4 losowaniach. Liczba takich ciągów: \(\binom{4}{3} = 4\) (wybór pozycji, na której jest czarna).
\[P(A) = \tfrac{4}{16} = \tfrac{1}{4}.\]

### Sposób 2 - Wzór Bernoulliego
Prawdopodobieństwo pojedynczego wyciągnięcia białej: \(p = \tfrac{1}{2}\).
\[P(A) = \binom{4}{3}p^{3}(1-p)^{1} = 4\cdot \tfrac{1}{8}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{4}{16} = \tfrac{1}{4}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{1}{16}\)** - tylko jeden ciąg (np. BBBC), zapomniano o \(\binom{4}{3}=4\) układach.
- **B. \(\tfrac{3}{8}\)** - prawdopodobieństwo "dokładnie 2 białe" (\(\binom{4}{2}\cdot \tfrac{1}{16} = \tfrac{6}{16}\)).
- **D. \(\tfrac{3}{4}\)** - pomyłka z czymś innym.

**Trik:** Liczbę układów "3 z 4" można policzyć: wybieramy, która z 4 pozycji jest czarna = 4 możliwości.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/25)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F25)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 .
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_