# Matematyka — zadanie 26 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/26 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 2 - działy: Równania i nierówności ## Treść Rozwiąż nierówność \(2x(1 - x) + 1 - x < 0\). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(x \in \left(-\infty,\ -\frac{1}{2}\right) \cup (1,\ +\infty)\) ## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika i analiza znaku **Krok 1: Wyłącz wspólny czynnik z lewej strony.** Zauważamy, że w wyrażeniu \(2x(1-x) + 1 - x\) człon \((1-x)\) pojawia się dwukrotnie: \[2x \cdot (1-x) + 1 \cdot (1-x) < 0\] \[(1-x)(2x + 1) < 0\] To kluczowy krok - zamiast rozwijać nawias, wyłączamy \((1-x)\) przed nawias. **Krok 2: Znajdź miejsca zerowe każdego czynnika.** \[1 - x = 0 \implies x = 1\] \[2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}\] **Krok 3: Analiza znaku iloczynu - tabela znaków.** Zaznaczamy punkty \(x = -\frac{1}{2}\) i \(x = 1\) na osi, a potem badamy znak każdego czynnika: | Przedział | \((1-x)\) | \((2x+1)\) | Iloczyn | | \(x < -\frac{1}{2}\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) ✓ | | \(-\frac{1}{2} < x < 1\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) ✗ | | \(x > 1\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) ✓ | **Krok 4: Odczyt rozwiązania.** Iloczyn jest **ujemny** (tj. \(< 0\)) dla: \[\boxed{x \in \left(-\infty,\ -\frac{1}{2}\right) \cup (1,\ +\infty)}\] Końce przedziałów **wyłączamy** (nierówność ostra, nie \(\leq\)). ## Sposób 2 - Rozwinięcie i wzór na miejsca zerowe trójmianu **Krok 1: Rozwiń i uprość.** \[2x(1-x) + 1 - x < 0\] \[2x - 2x^2 + 1 - x < 0\] \[-2x^2 + x + 1 < 0\] **Krok 2: Pomnóż obie strony przez \(-1\) (odwracamy znak nierówności!).** \[2x^2 - x - 1 > 0\] > ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie przez liczbę **ujemną** odwraca kierunek nierówności! **Krok 3: Wyznacz wyróżnik i miejsca zerowe.** Trójmian \(2x^2 - x - 1\), gdzie \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\): \[\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{4}\] \[x_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1\] **Krok 4: Odczyt rozwiązania nierówności \(2x^2 - x - 1 > 0\).** Parabola \(2x^2 - x - 1\) ma ramiona skierowane **w górę** (\(a = 2 > 0\)), więc jest **dodatnia** na zewnątrz miejsc zerowych: \[x \in \left(-\infty,\ -\frac{1}{2}\right) \cup (1,\ +\infty)\] Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe trójmianu: \[\Delta = b^2 - 4ac\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\] Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia punktów podziału dla tabeli znaków. Dodatkowo: fakt, że **parabola z \(a > 0\) jest dodatnia na zewnątrz miejsc zerowych** - to własność wynikająca bezpośrednio z postaci iloczynowej \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\), opisanej na s. 7. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną **zawsze odwracaj znak**. \(-2x^2 + x + 1 < 0\) po pomnożeniu przez \(-1\) daje \(2x^2 - x - 1 > 0\), **nie** \(< 0\). > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć możliwość wyłączenia wspólnego czynnika \((1-x)\). Zawsze przed rozwijaniem nawiasów sprawdź, czy da się uprościć - Sposób 1 jest tu szybszy i mniej podatny na błędy. > ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziałów \(x = -\frac{1}{2}\) i \(x = 1\) są **wyłączone**, bo nierówność jest ostra (\(< 0\), a nie \(\leq 0\)). Gdyby zadanie miało \(\leq 0\), odpowiedź byłaby \(\left(-\infty,\ -\frac{1}{2}\right\rangle \cup \langle 1,\ +\infty)\). **Poprawna odpowiedź:** \(x\in\left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right)\cup(1, +\infty)\). ### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika (CKE I) Przekształcamy lewą stronę: \[2x(1-x) + 1 - x = 2x(1-x) + (1-x) = (1-x)(2x+1).\] Nierówność: \[(1-x)(2x+1) < 0.\] Pierwiastki: \(x = 1\) oraz \(x = -\tfrac{1}{2}\). Funkcja \(y = (1-x)(2x+1)\) po rozwinięciu: \(y = -2x^{2} + x + 1\). Współczynnik przy \(x^{2}\) to \(-2 < 0\) - parabola w dół. Znak wartości: \((1-x)(2x+1) < 0\) poza pierwiastkami (bo parabola w dół ujemna na końcach). \[x\in\left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right)\cup(1, +\infty).\] ### Sposób 2 - Rozwinięcie i delta (CKE III) \[2x - 2x^{2} + 1 - x < 0\] \[-2x^{2} + x + 1 < 0.\] Dla trójmianu \(-2x^{2}+x+1\): \(a = -2, b = 1, c = 1\). \[\Delta = 1 - 4\cdot(-2)\cdot 1 = 9, \sqrt{\Delta} = 3.\] \[x_{1} = \tfrac{-1-3}{-4} = 1, \quad x_{2} = \tfrac{-1+3}{-4} = -\tfrac{1}{2}.\] Parabola \(a<0\) (ramiona w dół): wartości ujemne dla \(x < -\tfrac{1}{2}\) lub \(x > 1\). ### Uwagi o punktacji (wg CKE) - **1 pkt:** obliczenie pierwiastków trójmianu \(x_{1}=1\), \(x_{2}=-\tfrac{1}{2}\), lub zapisanie alternatywy dwóch układów nierówności, lub zaznaczenie miejsc zerowych na wykresie. - **2 pkt:** zapisanie zbioru rozwiązań \(\left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right)\cup(1, +\infty)\) lub równoważnie. **Trik:** Gdy widzisz powtarzający się czynnik \((1-x)\), wyciągnij przed nawias zamiast rozwijać - szybciej otrzymasz formę iloczynową. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/26) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F26) ## Podobne zadania - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8 - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100 - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_