# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Funkcje, funkcja kwadratowa

## Treść

Zadanie 27. (0-2)
Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem
( )
2
f
x
x
bx
c
+ jest parabola, na
której leży punkt
(
)
0, 5
A =
. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu
7
x =
. Oblicz
wartości współczynników b i c.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=x^2+bx+c jest parabola, na której leży punkt A=(0,-5). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=7. Oblicz wartości współczynników b i c.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(b = -14\), \(c = -5\)

## Sposób 1 - Podstawienie punktu + wzór na oś symetrii

**Krok 1: Wyznaczamy \(c\) z warunku, że punkt \(A = (0, -5)\) leży na paraboli.**

Jeśli punkt leży na wykresie, to spełnia równanie funkcji:
\[f(0) = -5\]

Podstawiamy \(x = 0\) do wzoru:
\[f(0) = 0^2 + b \cdot 0 + c = c\]

Stąd:
\[\boxed{c = -5}\]

**Krok 2: Wyznaczamy \(b\) z warunku na oś symetrii.**

Oś symetrii paraboli \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ma równanie:
\[x = -\frac{b}{2a}\]

W naszym przypadku \(a = 1\) (współczynnik przy \(x^2\)), a oś symetrii to \(x = 7\):
\[-\frac{b}{2 \cdot 1} = 7\]
\[-\frac{b}{2} = 7\]
\[b = -14\]

\[\boxed{b = -14}\]

**Wynik:** \(f(x) = x^2 - 14x - 5\)

## Sposób 2 - Postać kanoniczna

Oś symetrii \(x = p = 7\) oznacza, że parabola ma wierzchołek w punkcie \(W = (7, q)\) dla pewnego \(q\).

Postać kanoniczna funkcji:
\[f(x) = (x - 7)^2 + q\]

**Wyznaczamy \(q\) z warunku \(A = (0, -5)\):**
\[f(0) = (0 - 7)^2 + q = -5\]
\[49 + q = -5\]
\[q = -54\]

Zatem \(f(x) = (x-7)^2 - 54\). Rozwijamy:
\[f(x) = x^2 - 14x + 49 - 54 = x^2 - 14x - 5\]

Porównując z \(f(x) = x^2 + bx + c\):
\[b = -14, \quad c = -5\]

Ten sam wynik - dobrze!

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii i postać kanoniczna:

Oś symetrii: \(x = p = -\dfrac{b}{2a}\)

Postać kanoniczna: \(f(x) = a(x - p)^2 + q\)

Użyliśmy w obu sposobach: Sposób 1 - bezpośrednio ze wzoru na oś symetrii; Sposób 2 - przez postać kanoniczną.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na oś symetrii to \(x = -\dfrac{b}{2a}\), nie \(x = \dfrac{b}{2a}\). Pomylenie znaku to najczęstszy błąd - tu daje \(b = +14\) zamiast \(-14\).

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \(A = (0, -5)\) daje od razu \(c\), bo \(f(0) = c\) - bez żadnych obliczeń. Wiele osób niepotrzebnie buduje układ równań zamiast skorzystać z tego triku.

> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu \(a = 1\), ale gdyby \(a \neq 1\), należałoby pamiętać o jego uwzględnieniu w mianowniku wzoru na oś symetrii - \(2a\), nie tylko \(2\).

**Poprawna odpowiedź:** \(b = -14\), \(c = -5\).

### Sposób 1 - Oś symetrii paraboli (CKE I)
Z karty wzorów (Dział 5): oś symetrii paraboli \(f(x) = ax^{2}+bx+c\) to \(x = -\tfrac{b}{2a}\).
Dla \(a = 1\):
\[-\tfrac{b}{2} = 7 \Rightarrow b = -14.\]
Punkt \(A = (0, -5)\) leży na paraboli, więc \(f(0) = c = -5\).

### Sposób 2 - Postać kanoniczna (CKE II)
Oś symetrii \(x = 7\) oznacza, że wzór ma postać kanoniczną:
\[f(x) = (x-7)^{2} + q.\]
Z \(f(0) = -5\): \(49 + q = -5\), czyli \(q = -54\).
Przekształcamy do ogólnej:
\[f(x) = x^{2} - 14x + 49 - 54 = x^{2} - 14x - 5.\]
Porównujemy: \(b = -14\), \(c = -5\).

### Sposób 3 - Symetria punktu (CKE III)
Obraz \(A=(0,-5)\) w symetrii względem osi \(x=7\) to \(A'=(14, -5)\). Oba leżą na paraboli, więc:
\[f(0) = c = -5, \qquad f(14) = 196 + 14b + c = -5.\]
Z drugiego: \(196 + 14b - 5 = -5 \Rightarrow 14b = -196 \Rightarrow b = -14\).

### Uwagi o punktacji (wg CKE)
- **1 pkt:** obliczenie \(b = -14\) lub \(c = -5\), lub zapisanie układu równań, lub zapisanie postaci kanonicznej.
- **2 pkt:** pełne rozwiązanie z \(b = -14, c = -5\).

**Trik:** Wzór \(-\tfrac{b}{2a}\) dla osi symetrii jest najszybszą drogą, zwłaszcza gdy \(a=1\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Dana jest prosta l o równaniu 2 2 3 x y oraz punkt ( ) 2 ,3 - A . Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) (28) Funkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. Odpowiedź: EMAP-P0_100 Rozwiązan
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem ( ) 2 f x x bx c + jest parabola, na której leży punkt ( ) 0, 5 A = . Osią symetrii tej parab
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑘+ 2)𝑥+ (𝑘-3), gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybier

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_