# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Liczby rzeczywiste, liczby

## Treść

Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8
jest równa 6.

MMA_1P
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: reszta wynosi 6

To zadanie dowodowe - nie ma wyboru odpowiedzi, lecz trzeba przeprowadzić pełny dowód algebraiczny.

## Sposób 1 - Uproszczenie wyrażenia algebraicznego i analiza parzystości

**Oznaczamy cztery kolejne liczby naturalne** jako \(n,\ n+1,\ n+2,\ n+3\).

**Zapisujemy sumę ich kwadratów:**

\[
S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2
\]

**Rozwijamy każdy kwadrat:**

\[
S = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9)
\]

\[
S = 4n^2 + 12n + 14
\]

**Wydzielamy część podzielną przez 8:**

\[
S = 4n^2 + 12n + 14 = 4n(n+3) + 14 = 4n(n+3) + 8 + 6
\]

Ponieważ \(8\) jest oczywiście podzielne przez \(8\), wystarczy pokazać, że \(4n(n+3)\) jest podzielne przez \(8\), czyli że \(n(n+3)\) jest **parzyste**.

**Analizujemy parzystość \(n(n+3)\) - dwa przypadki:**

- Jeśli \(n\) jest **parzyste** → \(n\) jest parzyste, więc iloczyn \(n(n+3)\) jest parzysty. ✓
- Jeśli \(n\) jest **nieparzyste** → \(n+3\) jest parzyste, więc iloczyn \(n(n+3)\) jest parzysty. ✓

**Wniosek:** W obu przypadkach \(n(n+3)\) jest parzyste, czyli \(4n(n+3)\) jest podzielne przez \(8\).

Zatem:

\[
S = \underbrace{4n(n+3)}_{\text{podzielne przez 8}} + \underbrace{8}_{\text{podzielne przez 8}} + 6
\]

**Reszta z dzielenia \(S\) przez 8 wynosi zawsze \(6\).** \(\blacksquare\)

## Sposób 2 - Dowód przez przypadki (parzystość \(n\))

Sprawdzamy oba możliwe przypadki parystości pierwszej z czterech liczb. Ze Sposobu 1 wiemy, że \(S = 4n^2 + 12n + 14\).

**Przypadek 1: \(n = 2k\) (liczba parzysta)**

\[
S = 4(2k)^2 + 12(2k) + 14 = 16k^2 + 24k + 14
\]

\[
S = 8(2k^2 + 3k) + 14 = 8(2k^2 + 3k) + 8 + 6 = 8(2k^2 + 3k + 1) + 6
\]

Reszta z dzielenia przez \(8\) wynosi \(\mathbf{6}\). ✓

**Przypadek 2: \(n = 2k+1\) (liczba nieparzysta)**

\[
S = 4(2k+1)^2 + 12(2k+1) + 14
\]

\[
= 4(4k^2 + 4k + 1) + 24k + 12 + 14
\]

\[
= 16k^2 + 16k + 4 + 24k + 26
\]

\[
= 16k^2 + 40k + 30
\]

\[
= 8(2k^2 + 5k + 3) + 6
\]

Reszta z dzielenia przez \(8\) wynosi \(\mathbf{6}\). ✓

**W obu przypadkach reszta wynosi 6.** \(\blacksquare\)

**Weryfikacja na przykładzie liczbowym:**

Dla \(n = 1\): \(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 = 3 \cdot 8 + \mathbf{6}\) ✓

Dla \(n = 2\): \(4 + 9 + 16 + 25 = 54 = 6 \cdot 8 + \mathbf{6}\) ✓

Dla \(n = 7\): \(49 + 64 + 81 + 100 = 294 = 36 \cdot 8 + \mathbf{6}\) ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Wystarczą:
- **wzory skróconego mnożenia** (Dział 6, s. 7): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - do rozwinięcia kwadratów \((n+1)^2\), \((n+2)^2\), \((n+3)^2\),
- **elementarna definicja reszty z dzielenia** - liczba \(S\) ma resztę \(r\) z dzielenia przez \(8\), gdy \(S = 8k + r\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\) i \(0 \leq r < 8\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie sprawdzaj "na przykładach" - to nie jest dowód! Przykłady służą wyłącznie do weryfikacji. Egzaminator oczekuje ogólnego rozumowania dla **dowolnych** czterech kolejnych liczb naturalnych.

> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to pominięcie jednego z dwóch przypadków parzystości (tylko \(n\) parzyste lub tylko nieparzyste). Musisz rozpatrzyć **oba** i zakończyć każdy oddzielną konkluzją.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie \(4n^2 + 12n + 14\) łatwo zapomnieć o rozbiorze \(14 = 8 + 6\). Celem jest wyłuskanie wszystkich wielokrotności \(8\) i pokazanie, że zostaje dokładnie \(6\).

**Dowód.**

### Sposób 1 - Rozwiązanie zalecane (CKE)
Niech \(n, n+1, n+2, n+3\) będą czterema kolejnymi liczbami naturalnymi. Sumujemy kwadraty i porządkujemy:
\[n^{2} + (n+1)^{2} + (n+2)^{2} + (n+3)^{2} = 4n^{2} + 12n + 14.\]
Przekształcamy:
\[4n^{2} + 12n + 14 = 4n^{2} + 12n + 8 + 6 = 4(n^{2}+3n+2) + 6 = 4(n+1)(n+2) + 6.\]
Wystarczy pokazać, że \(4(n+1)(n+2)\) jest podzielne przez 8.
Zauważmy: \((n+1)\) i \((n+2)\) to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich jest parzysta. Zatem iloczyn \((n+1)(n+2)\) jest parzysty, czyli \(4(n+1)(n+2)\) jest podzielne przez \(4\cdot 2 = 8\).
Stąd \(4(n+1)(n+2) + 6\) daje przy dzieleniu przez 8 resztę 6. CBDO.

### Sposób 2 - Przypadki parzystości
Niech \(n\) będzie parzyste, \(n = 2k\). Kwadraty: \(4k^{2}, (2k+1)^{2}, (2k+2)^{2}, (2k+3)^{2}\). Podobne rachunki modulo 8 dają sumę \(\equiv 0+1+4+1 = 6 \pmod 8\).
Niech \(n\) będzie nieparzyste, \(n = 2k+1\). Wtedy kwadraty \(\equiv 1, 4, 1, 0 \pmod 8\), suma \(\equiv 6\pmod 8\).

W obu przypadkach reszta 6.

### Uwagi o punktacji (wg CKE)
- **1 pkt:** zapisanie sumy kwadratów w postaci \(4(n^{2}+3n+2)+6\).
- **2 pkt:** pełne rozumowanie z uzasadnieniem, że \(4(n+1)(n+2)\) dzieli się przez 8.
- **UWAGA:** sprawdzenie na konkretnych liczbach daje **0 punktów**.

**Trik:** Wśród dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna jest zawsze parzysta - klasyczny chwyt w dowodach podzielności.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (0-2) Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6. MMA_1P Wykaż, że reszta z dzielenia sum
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Wykaż, że liczba 2017 2018 2019 2020 4 4 4 4 jest podzielna przez 17. Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Uzyskana li
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Wykaż, że liczba 2017 2018 2019 2020 4 4 4 4 jest podzielna przez 17. Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Uzyskana 
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2009-operon-probna-rozszerzona/zad/9) — Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę naturalną a . liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej? Wskazówk

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_