# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 29. (0-2)
Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że
DE
EC
2
, a na boku AB wybrano taki punkt F, że BF
DE
. Niech P oznacza punkt
przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są
przystające.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
A
F
E
D
C
P
B

MMA_1P
Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że |EC| = 2|DE|, a na boku AB wybrano taki punkt F, że |BF| = |DE|. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są przystające.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Zadanie dowodowe

To zadanie otwarte - należy **wykazać** (udowodnić), że trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające. Poniżej dwa pełne dowody.

## Sposób 1 - Geometryczny (podobieństwo trójkątów + cecha SAS)

**Oznaczenia.** Niech \(|DE| = a\). Wtedy:
- \(|EC| = 2a\) (z treści zadania),
- \(|CD| = |DE| + |EC| = 3a\),
- \(|AB| = |CD| = 3a\) (prostokąt),
- \(|BF| = |DE| = a\) (z treści zadania),
- \(|AF| = 3a - a = 2a\).

Niech \(h = |AD| = |BC|\) (wysokość prostokąta).

**Krok 1 - kąty proste.**

\[\angle ADE = 90° \quad \text{i} \quad \angle FBP = 90°\]

Kąt \(\angle ADE = 90°\) pochodzi z narożnika prostokąta (\(AD \perp DC\)). Kąt \(\angle FBP = 90°\), bo \(F\) leży na \(AB\), \(P\) leży na prostej \(BC\), a \(AB \perp BC\).

**Krok 2 - jedna para boków.**

Z warunków zadania wprost:
\[|DE| = |BF| = a\]

**Krok 3 - wyznaczenie \(|BP|\) (kluczowy krok).**

Ponieważ \(AB \parallel DC\) (boki prostokąta), a prosta \(EFP\) przecina obie równoległe proste oraz prostą \(BC\), rozpatrzmy trójkąty \(PBF\) i \(PCE\).

- \(\angle PBF = 90°\) (bo \(BF \subset AB\) i \(BP \subset BC\), a \(AB \perp BC\))
- \(\angle PCE = 90°\) (bo \(CE \subset CD\) i \(CP \subset BC\), a \(CD \perp BC\))
- Kąt przy \(P\) jest wspólny dla obu trójkątów.

Zatem z cechy **AA**:
\[\triangle PBF \sim \triangle PCE\]

Iloraz podobieństwa (z podstaw):
\[\frac{|BF|}{|CE|} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\]

Stąd:
\[\frac{|BP|}{|CP|} = \frac{1}{2}\]

Ale \(|CP| = |BC| + |BP| = h + |BP|\), więc:
\[\frac{|BP|}{h + |BP|} = \frac{1}{2}\]
\[2|BP| = h + |BP|\]
\[\boxed{|BP| = h = |AD|}\]

**Krok 4 - zastosowanie cechy przystającości SAS.**

Zebraliśmy:

| Element | \(\triangle AED\) | \(\triangle FPB\) |
| Bok | \(\|DE\| = a\) | \(\|BF\| = a\) |
| Kąt (między bokami) | \(\angle ADE = 90°\) | \(\angle FBP = 90°\) |
| Bok | \(\|AD\| = h\) | \(\|BP\| = h\) |

Na mocy cechy **bok-kąt-bok (SAS)**:

\[\triangle AED \cong \triangle FPB \qquad \blacksquare\]

## Sposób 2 - Algebraiczny (układ współrzędnych)

Wprowadźmy układ współrzędnych. Niech:
\[A = (0, 0),\quad B = (3a, 0),\quad C = (3a, h),\quad D = (0, h)\]

Wyznaczamy punkty z treści zadania:
- \(E\) na \(CD\): \(|DE| = a\), więc \(E = (a,\, h)\)
- \(F\) na \(AB\): \(|BF| = a\), więc \(F = (2a,\, 0)\)

**Wyznaczanie \(P\).**

Prosta \(EF\) - parametrycznie przez \(E\) i \(F\):
\[\vec{EF} = (2a - a,\; 0 - h) = (a,\, -h)\]
\[(x, y) = (a,\, h) + t\,(a,\, -h) = \bigl(a(1+t),\; h(1-t)\bigr)\]

Prosta \(BC\): \(x = 3a\). Warunek przecięcia:
\[a(1+t) = 3a \implies t = 2\]
\[y = h(1-2) = -h\]

Zatem \(P = (3a,\; -h)\).

**Obliczenie długości boków.**

Trójkąt \(AED\) (\(A=(0,0),\;E=(a,h),\;D=(0,h)\)):
\[|AD| = h,\quad |DE| = a,\quad \angle ADE = 90°\]

Trójkąt \(FPB\) (\(F=(2a,0),\;P=(3a,-h),\;B=(3a,0)\)):
\[|BP| = \sqrt{(3a-3a)^2 + (-h-0)^2} = h\]
\[|BF| = \sqrt{(3a-2a)^2 + 0^2} = a\]
\[\angle FBP: \text{ wektory } \vec{BF} = (-a, 0),\; \vec{BP} = (0,-h) \implies \vec{BF}\cdot\vec{BP} = 0 \implies 90°\]

Mamy zatem:
\[|AD| = |BP| = h,\quad |DE| = |BF| = a,\quad \angle ADE = \angle FBP = 90°\]

Z cechy **SAS**:
\[\triangle AED \cong \triangle FPB \qquad \blacksquare\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Talesa (zasada proporcjonalności):

Jeśli \(AB \parallel CD\), to prosta przecinająca obie proste równoległe dzieli odcinki proporcjonalnie:
\[\frac{|BF|}{|CE|} = \frac{|BP|}{|CP|}\]

Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \(|BP|\).

**Cecha przystającości SAS** (s. 15): dwa trójkąty są przystające, jeśli mają dwa boki równej długości i zawarty między nimi kąt równy.

W tym zadaniu nie korzystamy ze złożonych wzorów algebraicznych - wystarczy proporcjonalność z Talesa i cecha SAS.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy pokazać, że dwa boki są równe - trzeba wskazać **trzy** elementy (w tym kąt!) lub uzasadnić cechę. Samo "boki są równe" to błąd logiczny bez wskazania kąta zawartego.

> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często mylą kolejność wierzchołków w twierdzeniu o przystającości. Upewnij się, że piszesz \(\triangle AED \cong \triangle FPB\) w odpowiedniej kolejności - tzn. \(A \leftrightarrow F\), \(E \leftrightarrow P\), \(D \leftrightarrow B\) (wierzchołki przy kącie prostym to \(D\) i \(B\)).

> ⚠️ **Uwaga:** Wyznaczenie \(|BP| = h\) wymaga uzasadnienia - nie można tego przyjąć "z rysunku". Kluczowy jest argument o podobieństwie trójkątów \(PBF\) i \(PCE\) (z równoległości \(AB \parallel DC\)).

**Dowód.**

### Sposób 1 - Cecha \(kbk\) przez trójkąt \(FEG\) (CKE I)
Dorysujmy odcinek \(FG\) tak, że \(G\) jest środkiem odcinka \(EC\). Ponieważ \(|EC|=2|DE|\), to \(|DE|=|EG|=|GC|\).

Rozważmy trójkąty \(AED\) i \(FEG\):
- \(|AD| = |FG|\) (obie wysokości prostokąta),
- \(\angle ADE = \angle FGE = 90^{\circ}\),
- \(|DE| = |EG|\).

Z cechy \(bkb\) (bok-kąt-bok) trójkąty \(AED\) i \(FEG\) są przystające.

Oznaczmy \(\angle DAE = \alpha\). Z przystawania \(\angle EFG = \alpha\). Odcinki \(PC\) (prosta \(BC\)) i \(FG\) są równoległe (oba pionowe, prostopadłe do \(AB\)), więc \(\angle FPB = \angle EFG = \alpha\) (kąty odpowiadające).

W trójkątach \(AED\) i \(FPB\):
- \(\angle ADE = \angle FBP = 90^{\circ}\),
- \(\angle DAE = \angle BFP = \alpha\) (trzeci kąt też się zgadza),
- \(|DE| = |BF|\) (z treści).

Z cechy \(kbk\) (kąt-bok-kąt) trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające. CBDO.

### Sposób 2 - Przechodniość przystawania (CKE II)
Jak wyżej pokazujemy \(AED \cong FEG\). Następnie \(FEG \cong PFB\) (oba prostokątne, \(\angle EFG = \angle PFB\) przez kąty wierzchołkowe, \(|FG|=|BF|\) tu analogicznie przez cechę \(kbk\)). Przez przechodniość \(AED \cong FPB\).

### Sposób 3 - Podobieństwo (CKE III)
Trójkąty \(PBF\) i \(PCE\) są podobne (oba prostokątne, wspólny kąt \(\angle FPB\)). Skala podobieństwa \(k = 2\), bo \(|EC| = 2|BF|\) (z \(|EC|=2|DE|\) i \(|BF|=|DE|\)). Stąd \(|CP| = 2|BP|\), czyli \(|PB| = |BC| = |AD|\).
Teraz w trójkątach \(AED\) i \(PBF\):
\[|PB| = |AD|, \quad \angle PBF = 90^{\circ} = \angle ADE, \quad |BF| = |DE|.\]
Z cechy \(bkb\) są przystające. CBDO.

### Uwagi o punktacji (wg CKE)
- **1 pkt:** uzasadnienie, że pewne trójkąty pomocnicze są przystające/podobne.
- **2 pkt:** pełne rozumowanie. UWAGA: wprowadzenie dodatkowych założeń spoza treści = **0 pkt**.

**Trik:** Dorysowanie linii pomocniczej (np. z punktu \(F\) do środka odcinka \(EC\)) często upraszcza dowód przystawania.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-3) Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie 
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/29) — Bok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC . Punkt D leży na tym okręgu, a odcinek SD zawarty jest w symetralnej boku BC tr
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że DE EC 2 , a na boku AB wybrano taki punkt F, że BF DE . Niech P 
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną ką

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_