# Matematyka — zadanie 3

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/3
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 3. (0-1)
Wskaż liczbę spełniającą nierówność (
)(
)(
)
0
4
3
4
>
x
x
x
A. 5
B. 16
C.
4
D.
2
Wskaż liczbę spełniającą nierówność (4-x)(x+3)(x+4) > 0. A. 5, B. 16, C. -4, D. -2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(x = -2\)

Sprawdzenie: \((4-(-2))\cdot(-2+3)\cdot(-2+4) = 6 \cdot 1 \cdot 2 = 12 > 0\) ✓

## Sposób 1 - Analiza znaku (tabliczka znaków)

**Wyznaczamy miejsca zerowe** wyrażenia - czyli wartości, gdzie iloczyn równa się zero:

\[4 - x = 0 \implies x = 4\]
\[x + 3 = 0 \implies x = -3\]
\[x + 4 = 0 \implies x = -4\]

**Zaznaczamy miejsca zerowe na osi liczbowej** (w kolejności rosnącej):
\[-4, \quad -3, \quad 4\]

Dzielą one oś na cztery przedziały. Badamy znak iloczynu w każdym z nich:

| Przedział | \((4-x)\) | \((x+3)\) | \((x+4)\) | Iloczyn |
| \(x < -4\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) ✓ |
| \(-4 < x < -3\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) ✗ |
| \(-3 < x < 4\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) ✓ |
| \(x > 4\) | \(-\) | \(+\)) | \(+\) | \(-\) ✗ |

**Rozwiązanie nierówności:**
\[x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 4)\]

Teraz sprawdzamy odpowiedzi:
- **A.** \(x = 5\): poza rozwiązaniem (\(5 > 4\)) ✗
- **B.** \(x = 16\): poza rozwiązaniem (\(16 > 4\)) ✗
- **C.** \(x = -4\): to zero wyrażenia, iloczyn \(= 0\), nierówność ostra nie jest spełniona ✗
- **D.** \(x = -2\): należy do \((-3, 4)\) ✓

**Odpowiedź: D**

## Sposób 2 - Podstawienie bezpośrednie (weryfikacja)

Dla zadań wielokrotnego wyboru można po prostu podstawić każdą odpowiedź i sprawdzić:

**A.** \(x = 5\):
\[(4-5)(5+3)(5+4) = (-1)\cdot 8 \cdot 9 = -72 < 0\] ✗

**B.** \(x = 16\):
\[(4-16)(16+3)(16+4) = (-12)\cdot 19 \cdot 20 < 0\] ✗

**C.** \(x = -4\):
\[(4-(-4))(-4+3)(-4+4) = 8 \cdot (-1) \cdot 0 = 0 \not> 0\] ✗

**D.** \(x = -2\):
\[(4-(-2))(-2+3)(-2+4) = 6 \cdot 1 \cdot 2 = 12 > 0\] ✓

**Odpowiedź: D** - jedyna liczba spełniająca nierówność.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość zasady **tabliczki znaków** (analiza znaku iloczynu czynników liniowych) oraz podstawowe działania arytmetyczne.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do niej |
| A (\(x=5\)) | Uczeń myli kierunek nierówności - myśli, że dla \(x > 4\) wyrażenie jest dodatnie, bo "duże \(x\)". Zapomina, że czynnik \((4-x)\) staje się ujemny. |
| B (\(x=16\)) | Podobny błąd jak w A - intuicja "duże \(x\) → duże wartości" zawodzi, gdy jeden czynnik zmienia znak. |
| C (\(x=-4\)) | Uczeń widzi \(-4\) jako "punkt graniczny" i myśli, że należy do rozwiązania. Nie zauważa, że nierówność jest **ostra** (\(> 0\)), więc zera wyrażenia są wykluczone. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność **ostra** (\(> 0\)) wyklucza miejsca zerowe. Gdyby było \(\geq 0\), to \(x = -4\) i \(x = -3\) i \(x = 4\) też by należały. Tu należy do rozwiązania **wyłącznie** wnętrze przedziałów.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy czynnikach postaci \((a - x)\) (np. \((4-x)\)) uważaj na znak! Dla \(x > 4\) ten czynnik jest **ujemny** - odwrotnie niż \((x-4)\). Łatwo tu o pomyłkę przy ustalaniu znaków w tabliczce.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze zapisuj miejsca zerowe w kolejności rosnącej na osi, zanim zaczniesz tabliczkę. Chaos w kolejności = chaos w znakach = błędna odpowiedź.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Podstawianie wartości z odpowiedzi
Podstawiamy każdą z liczb i sprawdzamy znak iloczynu.
- A. \(x = 5\): \((4-5)(5+3)(5+4) = (-1)(8)(9) = -72 < 0\). Nie spełnia.
- B. \(x = 16\): \((-12)(19)(20) < 0\). Nie spełnia.
- C. \(x = -4\): \((8)(-1)(0) = 0\). Nie spełnia (nierówność ostra).
- D. \(x = -2\): \((6)(1)(2) = 12 > 0\). **Spełnia!**

### Sposób 2 - Analiza znaków (oś liczbowa)
Pierwiastki czynników: \(4-x=0 \Rightarrow x=4\); \(x+3=0 \Rightarrow x=-3\); \(x+4=0 \Rightarrow x=-4\).
Rysujemy oś z punktami \(-4, -3, 4\). Iloczyn to wielomian stopnia 3, współczynnik przy \(x^{3}\) to \(-1\cdot 1 \cdot 1 = -1\) (ujemny), więc z prawej strony (dla \(x\to +\infty\)) wartości są ujemne.
Znaki na przedziałach: \((-\infty,-4)\): +, \((-4,-3)\): -, \((-3, 4)\): +, \((4,+\infty)\): -.
Nierówność \(>0\) spełniają: \((-\infty,-4) \cup (-3, 4)\). Liczba \(-2\in(-3,4)\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. 5** leży w \((4,+\infty)\) gdzie iloczyn \(<0\).
- **B. 16** także w \((4,+\infty)\).
- **C. \(-4\)** to pierwiastek - iloczyn równy zero, nie spełnia ostrej nierówności.

**Trik:** Przy \(>0\) w iloczynie czynników liniowych, sprawdź najpierw czy odpowiedź nie jest pierwiastkiem.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/3)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F3)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_