# Matematyka — zadanie 30 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/30 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 2 - działy: Trygonometria ## Treść Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: **2** ## Sposób 1 - Algebraiczne uproszczenie przez jedynkę trygonometryczną **Krok 1: Przepisz wyrażenie do wspólnego mianownika.** \[\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}\] **Krok 2: Zastosuj jedynkę trygonometryczną.** Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), więc: \[\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}\] **Krok 3: Wyznacz \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\) z podanego warunku.** Podnosimy warunek \(\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\) do kwadratu: \[(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (\sqrt{2})^2\] \[\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 2\] \[1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\] \[2\sin\alpha\cos\alpha = 1\] \[\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{1}{2}\] **Krok 4: Podstaw do wyniku.** \[\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \boxed{2}\] ## Sposób 2 - Wyznaczenie kąta wprost **Krok 1: Znajdź α z warunku.** Wiadomo, że \(\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin(\alpha + 45°)\). Maksymalna wartość tej funkcji to \(\sqrt{2}\), osiągana gdy \(\alpha + 45° = 90°\), czyli \(\alpha = 45°\). Zatem jedynym ostrym kątem spełniającym warunek jest \(\alpha = 45°\). **Weryfikacja:** \(\sin 45° + \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) ✓ **Krok 2: Oblicz wyrażenie.** \[\operatorname{tg} 45° + \frac{1}{\operatorname{tg} 45°} = 1 + \frac{1}{1} = \boxed{2}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):** - Jedynka trygonometryczna: \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\] Użyta w Sposobie 1 do uproszczenia licznika. - Definicja tangensa: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\] Użyta do przepisania wyrażenia \(\operatorname{tg}\alpha + \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\) do postaci ułamkowej. - Wartość dla kąta \(45°\): \(\operatorname{tg}45° = 1\), \(\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) - z tabeli wartości na s. 11. **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):** \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] Użyte w Sposobie 1 do podniesienia warunku do kwadratu. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \(\operatorname{tg}\alpha + \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \neq \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha\) - ale właśnie tak! To wyrażenie **jest równe** \(\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha\), które upraszcza się do \(\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\). Nie licz tg i ctg osobno bez powodu - sprowadź do wspólnego mianownika. > ⚠️ **Uwaga:** Przy podnoszeniu do kwadratu \((\sin\alpha + \cos\alpha)^2\) nie zapomnij o członie \(2\sin\alpha\cos\alpha\)! Typowy błąd to napisanie \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 2\), co jest błędne - suma kwadratów to 1, nie 2. > ⚠️ **Uwaga:** Warunek \(\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\) jednoznacznie wyznacza \(\alpha = 45°\) (bo to maksymalna możliwa wartość tej sumy). Gdyby suma była inna niż \(\sqrt{2}\), kąt nie byłby tak "ładny" - wtedy Sposób 1 (algebraiczny) byłby jedyną wygodną drogą. **Poprawna odpowiedź:** \(\mathrm{tg}\,\alpha + \dfrac{1}{\mathrm{tg}\,\alpha} = 2\). ### Sposób 1 - Podniesienie do kwadratu (CKE I) Podnosimy obustronnie równanie \(\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\) do kwadratu: \[\sin^{2}\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^{2}\alpha = 2.\] Z jedynki trygonometrycznej (karta wzorów): \(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\), więc: \[1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \Rightarrow \sin\alpha\cos\alpha = \tfrac{1}{2}.\] Następnie korzystamy z definicji \(\mathrm{tg}\,\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\): \[\mathrm{tg}\,\alpha + \tfrac{1}{\mathrm{tg}\,\alpha} = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \tfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \tfrac{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \tfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = \tfrac{1}{1/2} = 2.\] ### Sposób 2 - Wyznaczenie kąta (CKE II) Z \(\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\) wyznaczamy \(\sin\alpha = \sqrt{2} - \cos\alpha\). Podstawiamy do \(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\): \[(\sqrt{2} - \cos\alpha)^{2} + \cos^{2}\alpha = 1\] \[2 - 2\sqrt{2}\cos\alpha + \cos^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\] \[2\cos^{2}\alpha - 2\sqrt{2}\cos\alpha + 1 = 0.\] To można zapisać jako \((\sqrt{2}\cos\alpha - 1)^{2} = 0\), więc \(\cos\alpha = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\) i \(\sin\alpha = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\) (czyli \(\alpha = 45^{\circ}\)). \[\mathrm{tg}\,\alpha + \tfrac{1}{\mathrm{tg}\,\alpha} = 1 + 1 = 2.\] ### Uwagi o punktacji (wg CKE) - **1 pkt:** przekształcenie wyrażenia do postaci \(\tfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\), lub obliczenie \(\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac{1}{2}\). - **2 pkt:** pełne obliczenie wyniku 2. **Trik:** \(\mathrm{tg}\,\alpha + \tfrac{1}{\mathrm{tg}\,\alpha} = \tfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\) - użyteczna tożsamość warta zapamiętania. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/30) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F30) ## Podobne zadania - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-4) Rozwiąż równanie 𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) = 𝟐𝐬𝐢𝐧𝒙 w zbiorze [𝟎, 𝝅]. Zapisz obliczenia. MMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 7. Maks. liczba pkt 4 Uzyskan - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-2) Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta. Zapisz obliczenia. 21. 0-2 MMAP-P0_100 Da - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-r0-100-a-2505/zad/9) — Rozwiąż równanie \(3cos^{2}\) x+ \(\sqrt{3}sin\)(2x) -\(3sin^{2}\) x= 0 w przedziale [-𝝅, 𝝅] . Zapisz obliczenia. - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-emap-r0-100-2305/zad/12) — Rozwiąż równanie \(3\sin^{2} x - \sin^{2}(2x) = 0\) w przedziale \(\langle \pi, 2\pi \rangle\). _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_