# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 31. (0-2)
Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy
liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba
uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(\frac{5}{16}\)

## Sposób 1 - Schemat Bernoullego (bezpośrednie zliczanie)

**Kluczowe spostrzeżenie:** Rzucamy monetę \(4\) razy. Niech \(k\) = liczba orłów. Wtedy liczba reszek = \(4 - k\).

Warunek zadania: **liczba orłów > liczba reszek**, czyli:
\[k > 4 - k \implies 2k > 4 \implies k > 2\]

A zatem potrzebujemy \(k \geq 3\), czyli **orły wypadły 3 lub 4 razy**.

Każdy rzut jest niezależny, \(p = \frac{1}{2}\) (orzeł), \(q = \frac{1}{2}\) (reszka). Stosujemy schemat Bernoullego:
\[P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

**Przypadek \(k = 3\)** (dokładnie 3 orły):
\[P_4(3) = \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16}\]

**Przypadek \(k = 4\)** (dokładnie 4 orły):
\[P_4(4) = \binom{4}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}\]

Zdarzenia są rozłączne, więc:
\[P(\text{orłów więcej niż reszek}) = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \boxed{\frac{5}{16}}\]

## Sposób 2 - Symetria i zdarzenie przeciwne

**Pomysł:** Moneta jest symetryczna, więc sytuacja orłów i reszek jest identyczna. Stąd:
\[P(\text{orłów} > \text{reszek}) = P(\text{reszek} > \text{orłów})\]

Oznaczmy szukane prawdopodobieństwo jako \(P\). Zdarzenia:
- orłów > reszek (prawdopodobieństwo \(P\))
- reszek > orłów (prawdopodobieństwo \(P\) - z symetrii)
- remis, czyli orłów = reszek (tylko \(k = 2\)):
\[P(\text{remis}) = P_4(2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16}\]

Te trzy zdarzenia są parami rozłączne i łącznie wyczerpują całą przestrzeń zdarzeń:
\[P + P + \frac{6}{16} = 1\]
\[2P = 1 - \frac{6}{16} = \frac{10}{16}\]
\[\boxed{P = \frac{5}{16}}\]

Wynik zgodny ze Sposobem 1.

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - Schemat Bernoullego:
\[P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia prawdopodobieństwa uzyskania dokładnie \(k\) orłów w \(n = 4\) rzutach.

**Dział 4 (Silnia i współczynnik dwumianowy, s. 6)**:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Potrzebne do wyliczenia \(\binom{4}{3} = 4\) i \(\binom{4}{2} = 6\).

**Dział 14 (s. 29)** - własność prawdopodobieństwa:
\[P(A') = 1 - P(A)\]
Użyte pośrednio w Sposobie 2 przy obliczaniu sumy prawdopodobieństw wszystkich przypadków.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Uczeń liczy tylko \(k = 3\) (zapomina o \(k = 4\)), otrzymując \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\) |
| C | Uczeń liczy \(P(\text{orłów} \geq \text{reszek})\), włączając remis \(k = 2\): \(\frac{6+4+1}{16} = \frac{11}{16}\) - błędna interpretacja nierówności ostrej |
| D | Uczeń bierze \(P(\text{co najmniej 1 orzeł}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\) - kompletnie inna interpretacja zadania |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „orłów więcej niż reszek" to nierówność **ostra** (\(>\)), nie \(\geq\). Przypadek remisu (\(2\) orły, \(2\) reszki) **nie spełnia** warunku!

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że musisz liczyć **oba** sprzyjające przypadki: \(k = 3\) i \(k = 4\). Uczniowie często zapominają o \(k = 4\) (same orły), bo wydaje się on mało prawdopodobny.

> ⚠️ **Uwaga:** Moneta jest symetryczna, czyli \(p = q = \frac{1}{2}\). Gdyby moneta była niesymetryczna, Sposób 2 (argument symetrii) by nie zadziałał - zawsze sprawdzaj ten warunek!

**Poprawna odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{5}{16}\).

### Sposób 1 - Model klasyczny (CKE I)
Zbiór zdarzeń elementarnych to wszystkie ciągi czteroelementowe \((r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4})\), gdzie każde \(r_{i}\in\{O, R\}\). Model klasyczny, liczba wszystkich zdarzeń: \(|\Omega| = 2^{4} = 16\).

Zdarzenie \(A\): liczba orłów > liczba reszek, czyli orłów co najmniej 3: 3 orły i 1 reszka **albo** 4 orły.
- 4 orły: \((O,O,O,O)\) - 1 ciąg.
- 3 orły i 1 reszka: wybieramy miejsce reszki spośród 4: \(\binom{4}{1} = 4\) ciągi: \((O,O,O,R), (O,O,R,O), (O,R,O,O), (R,O,O,O)\).

Łącznie 5 sprzyjających zdarzeń.
\[P(A) = \tfrac{5}{16}.\]

### Sposób 2 - Drzewo (CKE II)
Rysujemy czteroetapowe drzewo z gałęziami dla każdego rzutu, z prawdopodobieństwem \(\tfrac{1}{2}\) na każdej gałęzi. Dla każdego z 5 ciągów sprzyjających prawdopodobieństwo pojedyncze to \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4} = \tfrac{1}{16}\). Sumarycznie:
\[P(A) = 5\cdot \tfrac{1}{16} = \tfrac{5}{16}.\]

### Uwagi o punktacji (wg CKE)
- **1 pkt:** zapisanie \(|\Omega| = 16\), lub wypisanie 5 zdarzeń sprzyjających, lub narysowanie drzewka (5 gałęzi).
- **2 pkt:** obliczenie i zapisanie \(P(A) = \tfrac{5}{16}\).
- **UWAGA:** błędne \(P(A) > 1\) lub \(< 0\) = **0 pkt**.

**Trik:** "Więcej orłów niż reszek" w 4 rzutach = co najmniej 3 orły. Symetrycznie: \(P(\text{więcej O}) = P(\text{więcej R}) = \tfrac{5}{16}\), a \(P(\text{równo}) = 1 - 2\cdot\tfrac{5}{16} = \tfrac{6}{16}\) (dokładnie 2 i 2).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-3) Sklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (0-3) W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opako
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (0-3) Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0,
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jedne

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_