# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 33. (0-4)
W ciągu arytmetycznym (
)
na , określonym dla liczb naturalnych
1
n ≥
, wyraz szósty jest
liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego
ciągu jest równa
10
15
4
S
. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla liczb naturalnych n ≥ 1 , wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S_{10} = 15/4. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

\[a_1 = -\frac{3}{4}, \quad r = \frac{1}{4}\]

## Sposób 1 - Układ równań z wzoru ogólnego

**Zapisujemy, co wiemy.** W ciągu arytmetycznym wyraz ogólny to:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]

więc:
\[a_5 = a_1 + 4r, \qquad a_6 = a_1 + 5r\]

**Warunek 1:** wyraz szósty jest dwa razy większy od piątego, czyli \(a_6 = 2a_5\):
\[a_1 + 5r = 2(a_1 + 4r)\]
\[a_1 + 5r = 2a_1 + 8r\]
\[0 = a_1 + 3r\]
\[\boxed{a_1 = -3r}\]

**Warunek 2:** suma dziesięciu wyrazów \(S_{10} = \dfrac{15}{4}\):
\[S_{10} = \frac{2a_1 + 9r}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9r)\]

Podstawiamy \(a_1 = -3r\):
\[5\bigl(2 \cdot (-3r) + 9r\bigr) = \frac{15}{4}\]
\[5(-6r + 9r) = \frac{15}{4}\]
\[5 \cdot 3r = \frac{15}{4}\]
\[15r = \frac{15}{4}\]
\[\boxed{r = \frac{1}{4}}\]

Stąd:
\[a_1 = -3r = -3 \cdot \frac{1}{4} = \boxed{-\frac{3}{4}}\]

## Sposób 2 - Przez wyrazy środkowe (własność ciągu arytmetycznego)

**Kluczowa obserwacja:** suma \(S_{10}\) może być wyrażona przez wyrazy \(a_1\) i \(a_{10}\), ale też przez sumę parami symetrycznych wyrazów. Każda para \((a_k, a_{11-k})\) ma tę samą sumę, więc:

\[S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = 5(a_1 + a_{10})\]

Z warunku \(a_1 = -3r\) (wyprowadzonego tak samo jak w Sposobie 1):

\[a_{10} = a_1 + 9r = -3r + 9r = 6r\]

Zatem:
\[5(a_1 + a_{10}) = 5(-3r + 6r) = 5 \cdot 3r = 15r = \frac{15}{4}\]
\[r = \frac{1}{4}, \quad a_1 = -\frac{3}{4}\]

**Weryfikacja:**
- \(a_5 = -\frac{3}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} + \frac{4}{4} = \frac{1}{4}\)
- \(a_6 = -\frac{3}{4} + 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
- Czy \(a_6 = 2a_5\)? \(\frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\) ✓
- \(S_{10} = 5\!\left(-\frac{3}{4} + 6 \cdot \frac{1}{4}\right) = 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4}\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy go do zapisania \(a_5\) i \(a_6\) przez \(a_1\) i \(r\).

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - suma \(n\) początkowych wyrazów:
\[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\]
Użyliśmy dla \(n = 10\) do postawienia drugiego równania układu.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** "Dwa razy większy" znaczy **dwa razy tyle**, czyli \(a_6 = 2a_5\), a **nie** \(a_6 = a_5 + 2\). To częsta pomyłka językowa - w polskich zadaniach maturalnych "dwa razy większy" = "dwukrotnie większy" = mnożenie przez 2.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy stosowaniu wzoru na \(S_{10}\) pamiętaj, że \((n-1) = 9\), a nie \(10\) - w \(2a_1 + (n-1)r\) podstawiamy \(n = 10\), więc \((n-1) = 9\).

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \(a_1 = -\frac{3}{4}\) jest **ujemny** - to nie błąd! Ciąg zaczyna się od liczby ujemnej i rośnie (różnica \(r = \frac{1}{4} > 0\)), więc kolejne wyrazy stają się coraz większe i w okolicach \(a_4\) ciąg "przechodzi przez zero". To zupełnie poprawna sytuacja.

**Poprawna odpowiedź:** \(a_{1} = -\dfrac{3}{4}\), \(r = \dfrac{1}{4}\).

### Sposób 1 - Standardowe równania (CKE I)
Z karty wzorów (Dział 4): \(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\), \(S_{n} = \tfrac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\).

**Warunek 1:** \(a_{6} = 2a_{5}\). Zapisujemy w terminach \(a_{1}\) i \(r\):
\[a_{1} + 5r = 2(a_{1} + 4r)\]
\[a_{1} + 5r = 2a_{1} + 8r\]
\[a_{1} = -3r.\]

**Warunek 2:** \(S_{10} = \tfrac{15}{4}\):
\[S_{10} = \tfrac{a_{1} + a_{10}}{2}\cdot 10 = 5(2a_{1} + 9r) = \tfrac{15}{4}\]
\[2a_{1} + 9r = \tfrac{3}{4}.\]

Podstawiamy \(a_{1} = -3r\):
\[2\cdot(-3r) + 9r = \tfrac{3}{4}\]
\[3r = \tfrac{3}{4} \Rightarrow r = \tfrac{1}{4}.\]
Stąd \(a_{1} = -3\cdot \tfrac{1}{4} = -\tfrac{3}{4}\).

**Sprawdzenie:** \(a_{5} = -\tfrac{3}{4} + 4\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}\); \(a_{6} = -\tfrac{3}{4} + 5\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}\). Rzeczywiście \(a_{6} = 2a_{5}\) ✓.

### Sposób 2 - Przez \(a_{5}\) (CKE II)
Z \(a_{6} = 2a_{5}\) i \(a_{6} = a_{5} + r\): \(a_{5} + r = 2a_{5}\), więc \(r = a_{5}\), tzn. \(a_{5} = r\).
\(a_{1} = a_{5} - 4r = r - 4r = -3r\). Dalej jak wyżej.

### Uwagi o punktacji (wg CKE)
- **1 pkt:** zapisanie równania z dwiema niewiadomymi (\(a_{1} + 5r = 2(a_{1}+4r)\) lub \(S_{10} = \tfrac{15}{4}\)).
- **2 pkt:** zapisanie układu dwóch równań.
- **3 pkt:** zapisanie równania z jedną niewiadomą.
- **4 pkt:** pełne obliczenie \(r = \tfrac{1}{4}\) oraz \(a_{1} = -\tfrac{3}{4}\).

**Trik:** Gdy \(a_{n+1} = 2a_{n}\), natychmiast dostajemy \(r = a_{n}\), czyli znany wyraz jest równy różnicy!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-6) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 a
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Ciąg ( ) , 4, , a b c jest arytmetyczny, a ciąg ( ) , , 4 a a b c jest geometryczny. Oblicz a, b i c. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wy
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6). Ciąg (𝑏𝑛), okre

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_