# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria

## Treść

Zadanie 34. (0-4)
Punkty
(
)
1,1
A = -
i
(
)
1,9
C =
są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym
AC
BC
. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu
3
1
2
2
y
x
. Oblicz
współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Punkty A=(-1,1) i C=(1,9) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y = 1/2x + 3/2. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Wierzchołek \(B = \left(\dfrac{43}{5},\ \dfrac{29}{5}\right)\)

## Sposób 1 - Warunek odległości (algebra)

**Krok 1: Sprawdzamy, że \(A\) leży na prostej \(AB\).**

Podstawiamy \(x = -1\):
\[\frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1 \checkmark\]

Punkt \(A = (-1, 1)\) leży na prostej \(y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\), więc wszystko się zgadza.

**Krok 2: Parametryzujemy punkt \(B\) na prostej \(AB\).**

Ponieważ \(B\) leży na prostej \(y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\), zapisujemy:
\[B = \left(t,\ \frac{t}{2} + \frac{3}{2}\right)\]

**Krok 3: Obliczamy \(|AC|^2\).**

\[|AC|^2 = (1-(-1))^2 + (9-1)^2 = 4 + 64 = 68\]

**Krok 4: Obliczamy \(|BC|^2\) i stawiamy warunek \(|AC| = |BC|\).**

\[|BC|^2 = (1-t)^2 + \left(9 - \frac{t}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 = (1-t)^2 + \left(\frac{15-t}{2}\right)^2\]

Warunek \(|BC|^2 = 68\):
\[(1-t)^2 + \frac{(15-t)^2}{4} = 68\]

Mnożymy przez 4:
\[4(1-t)^2 + (15-t)^2 = 272\]
\[4(1 - 2t + t^2) + (225 - 30t + t^2) = 272\]
\[4 - 8t + 4t^2 + 225 - 30t + t^2 = 272\]
\[5t^2 - 38t + 229 = 272\]
\[\boxed{5t^2 - 38t - 43 = 0}\]

**Krok 5: Rozwiązujemy równanie kwadratowe.**

\[\Delta = (-38)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-43) = 1444 + 860 = 2304 = 48^2\]
\[t = \frac{38 \pm 48}{10}\]

\[t_1 = \frac{38 + 48}{10} = \frac{86}{10} = \frac{43}{5}, \qquad t_2 = \frac{38 - 48}{10} = -1\]

**Krok 6: Odrzucamy rozwiązanie tożsame z \(A\).**

Dla \(t_2 = -1\): \(B = (-1, 1) = A\) - to nie jest wierzchołek trójkąta. Odrzucamy.

Dla \(t_1 = \frac{43}{5}\):
\[B_y = \frac{43/5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{43}{10} + \frac{15}{10} = \frac{58}{10} = \frac{29}{5}\]

**\[B = \left(\frac{43}{5},\ \frac{29}{5}\right)\]**

## Sposób 2 - Symetralność (środek odcinka \(AB\))

Skoro \(|AC| = |BC|\), punkt \(C\) jest **jednakowo odległy od \(A\) i \(B\)**, a więc **leży na symetralnej odcinka \(AB\)**.

**Krok 1: Wyznaczamy prostą przez \(C\) prostopadłą do \(AB\).**

Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \(a = \frac{1}{2}\), więc symetralna ma współczynnik:
\[a_\perp = -\frac{1}{a} = -2\]

Prosta prostopadła przez \(C = (1, 9)\):
\[y - 9 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 11\]

**Krok 2: Wyznaczamy środek \(M\) odcinka \(AB\) - punkt przecięcia obu prostych.**

\[\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} = -2x + 11\]
\[\frac{5}{2}x = \frac{19}{2} \implies x = \frac{19}{5}\]
\[y = -\frac{38}{5} + \frac{55}{5} = \frac{17}{5}\]

Środek: \(M = \left(\frac{19}{5}, \frac{17}{5}\right)\)

**Krok 3: Wyznaczamy \(B\) z warunku, że \(M\) jest środkiem \(AB\).**

\[\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{19}{5} \implies \frac{-1 + x_B}{2} = \frac{19}{5} \implies x_B = \frac{38}{5} + 1 = \frac{43}{5}\]

\[\frac{y_A + y_B}{2} = \frac{17}{5} \implies \frac{1 + y_B}{2} = \frac{17}{5} \implies y_B = \frac{34}{5} - 1 = \frac{29}{5}\]

**\[B = \left(\frac{43}{5},\ \frac{29}{5}\right)\]** ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**

Długość odcinka:
\[|AC| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\]
Użyte w Sposobie 1 do obliczenia \(|AC|^2 = 68\) i warunku \(|BC|^2 = 68\).

Proste prostopadłe - warunek:
\[a_1 \cdot a_2 = -1\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia kierunku symetralnej (\(\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1\)).

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyte w Sposobie 1 do rozwiązania równania \(5t^2 - 38t - 43 = 0\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 równanie daje **dwa rozwiązania** - jedno z nich to punkt \(A\) (\(t = -1\)). Trzeba je odrzucić, bo \(A \neq B\).

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek symetralnej (Sposób 2) działa dlatego, że \(C\) leży **na symetralnej \(AB\)** - wynika to wprost z definicji trójkąta równoramiennego z \(|AC| = |BC|\). Nie wolno mylić: tu ramionami są \(AC\) i \(BC\), a podstawą jest \(AB\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy prostopadłości kierunków - wzór \(a_\perp = -\frac{1}{a}\) wymaga \(a \neq 0\). Tu \(a = \frac{1}{2} \neq 0\), więc wzór stosujemy bezpiecznie.

**Poprawna odpowiedź:** \(B = \left(\tfrac{43}{5}, \tfrac{29}{5}\right) = (8{,}6; 5{,}8)\).

### Sposób 1 - Spodek wysokości i środek podstawy (CKE I)
Trójkąt jest równoramienny z \(|AC|=|BC|\), więc wysokość \(CD\) spuszczona z \(C\) na \(AB\) trafia w **środek** podstawy \(AB\).

Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \(\tfrac{1}{2}\). Prosta prostopadła (wysokość \(CD\)) ma współczynnik \(a_{CD} = -\tfrac{1}{1/2} = -2\) (karta wzorów Dział 8).
Równanie prostej \(CD\) przez \(C=(1,9)\):
\[y - 9 = -2(x-1) \Rightarrow y = -2x + 11.\]

Punkt \(D\) = przecięcie \(CD\) i \(AB\):
\[\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2} = -2x + 11\]
\[\tfrac{1}{2}x + 2x = 11 - \tfrac{3}{2}\]
\[\tfrac{5}{2}x = \tfrac{19}{2} \Rightarrow x = \tfrac{19}{5}.\]
\[y = -2\cdot \tfrac{19}{5} + 11 = -\tfrac{38}{5} + \tfrac{55}{5} = \tfrac{17}{5}.\]
Zatem \(D = \left(\tfrac{19}{5}, \tfrac{17}{5}\right)\).

D to środek odcinka \(AB\):
\[\tfrac{x_{A}+x_{B}}{2} = x_{D} \Rightarrow \tfrac{-1+x_{B}}{2} = \tfrac{19}{5} \Rightarrow x_{B} = \tfrac{38}{5}+1 = \tfrac{43}{5}.\]
\[\tfrac{y_{A}+y_{B}}{2} = y_{D} \Rightarrow \tfrac{1+y_{B}}{2} = \tfrac{17}{5} \Rightarrow y_{B} = \tfrac{34}{5}-1 = \tfrac{29}{5}.\]

\[B = \left(\tfrac{43}{5}, \tfrac{29}{5}\right).\]

### Sposób 2 - Równanie \(|AC|=|BC|\) (CKE II)
Punkt \(B\) leży na prostej \(AB\), więc \(B = \left(x_{B}, \tfrac{1}{2}x_{B}+\tfrac{3}{2}\right)\).
\(|AC|^{2} = (1-(-1))^{2} + (9-1)^{2} = 4 + 64 = 68\).
\(|BC|^{2} = (1-x_{B})^{2} + \left(9-\tfrac{1}{2}x_{B}-\tfrac{3}{2}\right)^{2} = 68\).
Rozwijając dostajemy \(5x_{B}^{2} - 38x_{B} - 43 = 0\), \(\Delta = 2304\), \(\sqrt{\Delta} = 48\):
\[x_{B} = \tfrac{38\pm 48}{10} \in \left\{-1, \tfrac{43}{5}\right\}.\]
\(x_{B} = -1\) to współrzędna \(A\), więc \(B\): \(x_{B} = \tfrac{43}{5}\), \(y_{B} = \tfrac{29}{5}\).

### Uwagi o punktacji (wg CKE)
- **1 pkt:** zauważenie, że \(D\) (spodek wysokości) jest środkiem \(AB\), lub zapisanie równania prostej \(CD\).
- **2 pkt:** obliczenie współrzędnych \(D\) lub zapisanie równania z jedną niewiadomą.
- **3 pkt:** zapisanie układu pozwalającego wyznaczyć \(B\) lub równania kwadratowego \(5x_{B}^{2}-38x_{B}-43=0\).
- **4 pkt:** obliczenie \(B = \left(\tfrac{43}{5}, \tfrac{29}{5}\right)\).

**Trik:** W trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka głównego trafia w **środek** podstawy - dzięki temu wystarczy znaleźć punkt \(D\) i odbić \(A\) symetrycznie.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (7 pkt) Środek okręgu przechodzącego przez punkty ( ) 1, 4 A = i ( ) 6, 3 B = - leży na osi Ox. a) Wyznacz równanie tego okręgu. b) Wyznacz równanie 
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥+ 𝑦-9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 1 4 𝑥2 -3 2 𝑥+ 1 4 w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest licz
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (6 pkt) Punkt ( 2,5) A = - jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego , ABC w którym AC BC Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zaw
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzcho

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_