# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności, procenty

## Treść

Zadanie 4. (0-1)
Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili
obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer
kosztował
A. 2200 złotych.
B. 2300 złotych.
C. 2400 złotych.
D. 3000 złotych.
Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował A. 2200$ złotych. B. 2300 złotych. C. 2400 złotych. D. 3000 złotych.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - 2400 złotych

## Sposób 1 - Równanie z nieznaną ceną początkową

Niech cena komputera przed obniżkami wynosi \(x\) złotych.

**Pierwsza obniżka o 10%** - cena spada do \(90\%\) poprzedniej:
\[x \cdot 0{,}9\]

**Druga obniżka o 10%** - znów spadek do \(90\%\) aktualnej ceny:
\[x \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = x \cdot 0{,}81\]

Po obu obniżkach cena wynosi 1944 zł, więc:
\[x \cdot 0{,}81 = 1944\]
\[x = \frac{1944}{0{,}81} = \frac{1944}{\frac{81}{100}} = 1944 \cdot \frac{100}{81} = \frac{194400}{81} = \mathbf{2400}\]

**Cena przed obniżkami wynosiła 2400 złotych.**

## Sposób 2 - "Cofanie" obniżek krok po kroku

Zamiast pisać równanie, cofamy się od końca - każdą obniżkę "odwracamy".

Po obniżce o \(10\%\) cena stanowi \(90\% = \frac{9}{10}\) ceny sprzed obniżki. Żeby odwrócić ten krok, **mnożymy przez \(\frac{10}{9}\)**.

**Krok 1** - cofamy drugą obniżkę:
\[1944 \cdot \frac{10}{9} = \frac{19440}{9} = 2160 \text{ zł}\]

**Krok 2** - cofamy pierwszą obniżkę:
\[2160 \cdot \frac{10}{9} = \frac{21600}{9} = 2400 \text{ zł}\]

**Cena wyjściowa: 2400 złotych.** ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:
\[K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\]

To zadanie to dokładnie zastosowanie tego wzoru "na wspak". Obniżka o \(10\%\) to \(p = -10\), więc czynnik wynosi \(\left(1 - \frac{10}{100}\right) = 0{,}9\). Dla \(n = 2\) obniżek:
\[K_2 = K_0 \cdot 0{,}9^2 = K_0 \cdot 0{,}81\]

Znamy \(K_2 = 1944\), szukamy \(K_0\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A - 2200 zł | Odejmowanie \(2 \times 10\% = 20\%\) od 2200: \(2200 \cdot 0{,}80 = 1760 \neq 1944\). Uczniowie myślą, że dwie obniżki po 10% to łącznie 20%. To błąd - każda obniżka liczy się od aktualnej ceny, nie od pierwotnej. |
| B - 2300 zł | Sprawdzenie: \(2300 \cdot 0{,}81 = 1863 \neq 1944\). Brak logicznego uzasadnienia - prawdopodobnie zgadywanie. |
| D - 3000 zł | Uczeń dodaje dwa razy \(10\%\) z kwoty końcowej: \(1944 + 194{,}4 + 194{,}4 \approx 2333\) lub liczy \(1944 : 0{,}9 + coś\) błędnie, albo po prostu zaokrągla "na oko" za dużo. Weryfikacja: \(3000 \cdot 0{,}81 = 2430 \neq 1944\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Dwie obniżki po 10% to **NIE to samo** co jedna obniżka o 20%! Po dwóch obniżkach cena stanowi \(0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81 = 81\%\) ceny pierwotnej, a nie \(80\%\). Różnica wynosi już \(2400 - 2200 = 200\) zł - a to dużo!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \(10\%\) z ceny końcowej (1944 zł) i nie dodawaj do niej dwukrotnie - to błąd, bo obniżki liczymy od ceny **przed** obniżką, a nie po niej.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(\frac{1944}{0{,}81}\) warto zamienić ułamek dziesiętny na zwykły: \(0{,}81 = \frac{81}{100}\), i liczyć \(1944 \cdot \frac{100}{81}\). Sprawdź, że \(81 \cdot 24 = 1944\) - wtedy \(x = 2400\) jest pewne.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Równanie na cenę początkową
Niech \(x\) - cena przed obniżkami. Każda obniżka o 10% zostawia 90% ceny:
\[0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot x = 1944\]
\[0{,}81 x = 1944\]
\[x = \tfrac{1944}{0{,}81} = 2400.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi C
\(2400 \cdot 0{,}9 = 2160\) (po pierwszej obniżce).
\(2160 \cdot 0{,}9 = 1944\) ✓. Zgadza się.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. 2200 zł** - sprawdzenie: \(2200\cdot 0{,}81 = 1782 \neq 1944\).
- **B. 2300 zł** - \(2300\cdot 0{,}81 = 1863 \neq 1944\).
- **D. 3000 zł** - pułapka "-20%"! Ktoś pomyślał: dwie obniżki po 10% = 20%. Ale wtedy \(3000\cdot 0{,}8 = 2400 \neq 1944\). Poza tym dwa razy 10% to nie 20% (efekt złożony).

**Trik:** Mnożniki się mnożą, nie dodają! \(0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81\), nie \(0{,}8\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_