# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności

## Treść

Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10, k\rangle\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21.

Stąd wynika, że

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-183/z5.png

Stąd wynika, że

A. \(k = 9\)
B. \(k = 11\)
C. \(k = 21\)
D. \(k = 31\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B (\(k = 11\))

## Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego

Przedział \((-10, k\rangle\) jest **otwarty od lewej** (nie zawiera \(-10\)) i **domknięty od prawej** (zawiera \(k\)).

Liczby całkowite należące do tego przedziału to:
\[-9, -8, -7, \ldots, 0, 1, 2, \ldots, k\]

Jest to ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = -9\), ostatnim \(a_n = k\) i różnicy \(r = 1\).

Liczba wyrazów:
\[n = k - (-9) + 1 = k + 10\]

Suma ciągu:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-9 + k}{2} \cdot (k + 10) = 21\]

Mnożymy obie strony przez 2:
\[(k - 9)(k + 10) = 42\]
\[k^2 + 10k - 9k - 90 = 42\]
\[k^2 + k - 132 = 0\]

Wyróżnik:
\[\Delta = 1 + 4 \cdot 132 = 529 = 23^2\]

Pierwiastki:
\[k = \frac{-1 \pm 23}{2}\]

Stąd \(k = 11\) lub \(k = -12\).

Ponieważ na rysunku \(k > -10\) i \(k\) jest całkowite, **jedynym rozwiązaniem jest \(k = 11\)**.

## Sposób 2 - Rozbicie sumy na część ujemną i nieujemną

Liczby całkowite w przedziale \((-10, k\rangle\):

**Część ujemna i zero** - od \(-9\) do \(0\):
\[(-9) + (-8) + \ldots + (-1) + 0 = -\frac{9 \cdot 10}{2} = -45\]

**Część dodatnia** - od \(1\) do \(k\) (zakładając \(k > 0\)):
\[1 + 2 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}\]

Łącznie:
\[-45 + \frac{k(k+1)}{2} = 21\]
\[\frac{k(k+1)}{2} = 66\]
\[k(k+1) = 132\]
\[k^2 + k - 132 = 0\]

Rozwiązując (tak samo jak w Sposobie 1): \(\mathbf{k = 11}\).

**Weryfikacja:** ciąg \(-9, -8, \ldots, 11\) ma \(21\) wyrazów.
\[S = \frac{-9 + 11}{2} \cdot 21 = \frac{2}{2} \cdot 21 = 1 \cdot 21 = 21 \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę ciągu arytmetycznego:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania sumy liczb całkowitych z przedziału.

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \quad k = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyliśmy go do rozwiązania równania kwadratowego \(k^2 + k - 132 = 0\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wartość | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | \(k = 9\) | Sumowanie bez uwzględnienia liczb ujemnych: tylko \(1 + 2 + \ldots\) albo pominięcie wzoru kwadratowego i "zgadywanie" |
| C | \(k = 21\) | Utożsamienie wartości \(k\) z wartością sumy - bo suma = 21, uczeń wpisuje \(k = 21\) |
| D | \(k = 31\) | Błędne podstawienie do wzoru Gaussa: np. \(\frac{k(k-1)}{2} = 21\) lub pominięcie przesunięcia o \(-9\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \((-10, k\rangle\) jest **otwarty od lewej** - \(-10\) **nie należy** do tego przedziału! Liczby całkowite zaczynają się od \(-9\), nie od \(-10\). Pomylenie nawiasu okrągłego z kwadratowym to najczęstszy błąd.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj o liczbach ujemnych i zero! Suma \(-9 + (-8) + \ldots + (-1) + 0 = -45\) musi być uwzględniona - ignorowanie jej i liczenie tylko \(1 + 2 + \ldots + k = 21\) daje błędny wynik.

> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe \(k^2 + k - 132 = 0\) ma dwa rozwiązania (\(11\) i \(-12\)), ale \(k = -12\) odpada z kontekstu zadania - sprawdź zawsze, które rozwiązanie pasuje do rysunku.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Skracanie sumy
Przedział \((-10, k\rangle\) otwarty z lewej, zamknięty z prawej. Liczby całkowite w nim to \(-9, -8, \ldots, k\).
Suma \(S = -9 + (-8) + \ldots + (-1) + 0 + 1 + 2 + \ldots + k\).
Ujemne części \(-9, -8, \ldots, -1\) są przeciwne do \(1, 2, \ldots, 9\), więc skracają się parami. Po skróceniu zostaje:
\[S = 0 + 10 + 11 + \ldots + k = 21.\]
Jeśli \(k = 11\), to \(S = 10 + 11 = 21\) ✓.

### Sposób 2 - Wzór na sumę
Suma od \(-9\) do \(k\) wynosi: \(\tfrac{(k+9+1)(k-(-9)+1)}{2} = \tfrac{(k+10)(k-(-9)+1)}{2}\) łatwiej jednak: suma od \(a\) do \(b\) całkowitych to \(\tfrac{(b-a+1)(a+b)}{2}\). Dla \(a=-9, b=k\):
\[\tfrac{(k+10)(k-9)}{2} = 21 \Rightarrow (k+10)(k-9) = 42.\]
Dla \(k=11\): \(21\cdot 2 = 42\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(k=9\)**: \(S = -9 + \ldots + 9 = 0 \neq 21\).
- **C. \(k=21\)**: suma dużo większa (\(10+11+\ldots+21 = 186\)).
- **D. \(k=31\)**: jeszcze więcej.

**Trik:** Symetryczne ujemne i dodatnie skracają się - zostaje tylko część \(10, 11, \ldots, k\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) Pan Jan sprzedał w swoim sklepie 120 kg truskawek. Połowę masy tych truskawek sprzedał w dużych opakowaniach, 10% masy truskawek - w średnich,
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/16) — Zadanie 16. (0-2) We wtorek w kwiaciarni obowiązywały ceny zapisane poniżej. Za dodatki użyte do wykonania bukietu dolicza się 20% wartości kwiatów, z których w
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19) — Zadanie 19. (0-2) Na pływalni w marcu obowiązywała promocja. Wojtek był w marcu codziennie jeden raz na pływalni i wykorzystał wszystkie ulgi promocyjne. Ile ko
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) W tabeli zapisano cztery wyrażenia arytmetyczne: I 224 ∶2 II 412 ⋅4 III 225 ∶8 IV (4 ⋅8)4 Które z tych wyrażeń ma największą wartość? Wybierz w

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_