# Matematyka — zadanie 6 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/6 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Równania i nierówności ## Treść Zadanie 6. (0-1) Równanie 0 1 2 1 x x A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. B. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. D. nie ma rozwiązań. Równanie x - 1 / 2x+1 = 0 A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. B. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. D. nie ma rozwiązań. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A Równanie \(x - \dfrac{1}{2x+1} = 0\) ma **dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste**: \(x_1 = -1\) i \(x_2 = \dfrac{1}{2}\). ## Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego **Krok 1 - Dziedzina.** Mianownik \(2x + 1 \neq 0\), więc: \[x \neq -\frac{1}{2}\] **Krok 2 - Mnożenie obu stron przez \((2x+1)\).** Na dziedzinie możemy to zrobić (mianownik jest różny od zera): \[x(2x+1) - 1 = 0\] \[2x^2 + x - 1 = 0\] **Krok 3 - Wyróżnik trójmianu.** \[\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 > 0\] Ponieważ \(\Delta > 0\), równanie kwadratowe ma **dwa różne pierwiastki**. **Krok 4 - Pierwiastki.** \[x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\] \[x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] **Krok 5 - Sprawdzenie dziedziny.** Ani \(x_1 = -1\), ani \(x_2 = \dfrac{1}{2}\) nie są równe \(-\dfrac{1}{2}\) - obydwa należą do dziedziny. **Odpowiedź: równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.** ## Sposób 2 - Interpretacja graficzna (przecięcia wykresów) Równanie \(x - \dfrac{1}{2x+1} = 0\) to to samo co: \[x = \frac{1}{2x+1}\] Szukamy przecięć wykresów \(y = x\) (prosta przez początek układu, nachylona pod kątem 45°) oraz \(y = \dfrac{1}{2x+1}\) (hiperbola przesunięta w lewo o \(\dfrac{1}{2}\)). Hiperbola \(y = \dfrac{1}{2x+1}\) ma: - asymptotę pionową: \(x = -\dfrac{1}{2}\) - asymptotę poziomą: \(y = 0\) Gałąź prawa (dla \(x > -\dfrac{1}{2}\)): hiperbola opada od \(+\infty\) do \(0^+\), prosta rośnie od wartości ujemnych - jedno przecięcie. Gałąź lewa (dla \(x < -\dfrac{1}{2}\)): hiperbola rośnie od \(-\infty\) do \(0^-\), prosta rośnie przez wartości ujemne - jedno przecięcie. **Łącznie: dwa przecięcia, dwa rozwiązania.** Wynik zgodny ze Sposobem 1. ## Wzory z karty CKE **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzory na pierwiastki: \[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\] Użyliśmy ich w Sposobie 1 po sprowadzeniu do trójmianu \(2x^2 + x - 1 = 0\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | B | Uczeń liczy \(\Delta = 9\), bierze \(\sqrt{9} = \pm 3\) i "widzi" trzy rozwiązania - błąd: \(\sqrt{9} = 3\), nie \(\pm 3\); dwa pierwiastki, nie trzy | | C | Uczeń popełnia błąd rachunkowy w \(\Delta\): np. liczy \(\Delta = 1 - 8 = -7\) (zły znak przy \(c = -1\)), dostaje \(\Delta < 0\), uznaje brak pierwiastków - ale potem wybiera C zamiast D; albo zapomina o jednym z pierwiastków | | D | Uczeń błędnie liczy \(\Delta = 1 - 8 = -7 < 0\) i orzeka brak rozwiązań - wynika z nieuwagi przy znaku \(c = -1\) (minus razy minus = plus) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj o dziedzinie! Gdyby któryś z pierwiastków wynosił \(-\dfrac{1}{2}\), trzeba by go odrzucić. Tutaj na szczęście obydwa są poprawne - ale zawsze sprawdź! > ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc równanie przez \((2x+1)\), **nie zmieniasz** liczby rozwiązań - o ile wcześniej wyznaczyłeś dziedzinę i nie mnożysz przez zero. Typowy błąd to pominięcie tego kroku i "wygenerowanie" fałszywego rozwiązania. > ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(\Delta\) dla \(2x^2 + x - 1 = 0\): tu \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -1\). Łatwo pomylić znak \(c\) - wtedy \(\Delta = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\), nie \(1 - 8\)! **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego Dziedzina: \(2x+1 \neq 0\), czyli \(x \neq -\tfrac{1}{2}\). Mnożymy obie strony przez \((2x+1)\): \[x(2x+1) - 1 = 0\] \[2x^{2} + x - 1 = 0.\] Z karty wzorów \(\Delta = b^{2} - 4ac = 1 + 8 = 9\), \(\sqrt{\Delta} = 3\). \[x_{1} = \tfrac{-1-3}{4} = -1, \quad x_{2} = \tfrac{-1+3}{4} = \tfrac{1}{2}.\] Oba spełniają dziedzinę (\(\neq -\tfrac{1}{2}\)). **Dwa rozwiązania.** ### Sposób 2 - Graficzne Rysujemy \(y = x\) (prosta) i \(y = \tfrac{1}{2x+1}\) (hiperbola przesunięta). Prosta przecina hiperbolę w dwóch punktach. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. Trzy** - \(\Delta = 9 > 0\) daje dokładnie dwa pierwiastki trójmianu. - **C. Jedno** - byłoby tylko przy \(\Delta = 0\) albo gdy jeden pierwiastek "wypadł" z dziedziny. Tu \(-1 \neq -\tfrac{1}{2}\) i \(\tfrac{1}{2}\neq -\tfrac{1}{2}\). - **D. Brak** - \(\Delta > 0\). **Trik:** Po pomnożeniu przez mianownik zawsze sprawdź, czy pierwiastki należą do dziedziny! ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/6) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F6) ## Podobne zadania - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb - [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia. - [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_