# Matematyka — zadanie 7 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/7 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Liczby rzeczywiste ## Treść Zadanie 7. (0-1) Liczbę 1111 224 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest A. 2 B. 0 C. 1 D. 6 Liczbę 224/1111 można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest A. 2, B. 0, C. 1, D. 6. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D (cyfra 6) ## Sposób 1 - dzielenie pisemne i wyznaczenie okresu **Wykonujemy dzielenie 224 ÷ 1111:** \[224{,}0000 \div 1111\] Kolejne kroki: \[2240 \div 1111 = 2, \quad \text{reszta } 2240 - 2222 = 18\] \[180 \div 1111 = 0, \quad \text{reszta } 180\] \[1800 \div 1111 = 1, \quad \text{reszta } 1800 - 1111 = 689\] \[6890 \div 1111 = 6, \quad \text{reszta } 6890 - 6666 = 224\] **Reszta 224 = licznik wyjściowy → cykl się powtarza!** Zatem: \[\frac{224}{1111} = 0{,}\overline{2016} = 0{,}2016\ 2016\ 2016\ \ldots\] Okres wynosi **4** i powtarza się blok cyfr: \(2, 0, 1, 6\). **Wyznaczamy 20. cyfrę:** \[20 \div 4 = 5, \quad \text{reszta } 0\] Reszta \(0\) oznacza, że 20. cyfra to **ostatnia cyfra bloku** (pozycja 4 w cyklu). Blok: \(\underbrace{2}_{1}, \underbrace{0}_{2}, \underbrace{1}_{3}, \underbrace{6}_{4}\) **Dwudziesta cyfra po przecinku to \(6\).** ## Sposób 2 - zamiana na ułamek o mianowniku złożonym z dziewiątek Każdy ułamek o mianowniku złożonym z samych dziewiątek daje rozwinięcie dziesiętne powtarzające blok z licznika: \[\frac{\overline{abcd}}{9999} = 0{,}\overline{abcd}\] Sprowadzamy \(\dfrac{224}{1111}\) do takiej postaci. Zauważamy, że: \[1111 \times 9 = 9999\] Zatem mnożymy licznik i mianownik przez 9: \[\frac{224}{1111} = \frac{224 \times 9}{1111 \times 9} = \frac{2016}{9999}\] Skoro mianownik to 9999 (cztery dziewiątki), to: \[\frac{2016}{9999} = 0{,}\overline{2016}\] Okres ma długość 4, blok to \(2016\). Pozycja 20: \(20 = 4 \cdot 5\), więc wypada na końcu 5. pełnego cyklu → **ostatnia cyfra bloku = 6.** ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wykonania dzielenia pisemnego i rozpoznanie, że \(\dfrac{p}{q}\) z mianownikiem złożonym z jedynek/dziewiątek daje ułamek okresowy z przewidywalnym blokiem. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A (2) | Uczeń bierze 1. cyfrę okresu zamiast właściwej pozycji - \(20 \mod 4 = 0\) (nie 1!) | | B (0) | Uczeń liczy \(20 \mod 4 = 0\) i błędnie interpretuje resztę 0 jako pozycję 2. (cyfrę 0) | | C (1) | Uczeń myli resztę 0 z pozycją 3. w bloku lub błędnie liczy \(20 \div 4\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Gdy \(20 \div 4\) daje resztę \(0\), to NIE bierzemy cyfry na pozycji 0 - to znaczy, że 20. cyfra **wyczerpuje dokładnie** cały blok, więc bierzemy **ostatnią** cyfrę okresu. > ⚠️ **Uwaga:** Przelicz \(224 \times 9 = 2016\) dokładnie - łatwo tu o błąd arytmetyczny, który sprawi, że cały blok będzie zły. > ⚠️ **Uwaga:** Długość okresu musi być sprawdzona dzieleniem lub przez mianownik - tu 1111 (cztery jedynki) daje okres długości 4, bo \(1111 \times 9 = 9999\). **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Okres dzielenia Wykonujemy dzielenie \(224 : 1111\): \[\tfrac{224}{1111} = 0{,}2016\, 2016\, 2016\ldots = 0{,}(2016).\] Okres ma długość 4: cyfry **2, 0, 1, 6**. Cyfra 20-ta po przecinku: \(20 = 4 \cdot 5\), więc to ostatnia cyfra 5. okresu, czyli cyfra **6**. ### Sposób 2 - Numerowanie cyfr Cyfry: 1-a=2, 2-a=0, 3-a=1, 4-a=6, 5-a=2, 6-a=0, 7-a=1, 8-a=6, Ogólnie cyfra \(n\)-ta zależy od \(n \bmod 4\): - \(n \equiv 1\): 2 - \(n \equiv 2\): 0 - \(n \equiv 3\): 1 - \(n \equiv 0\): 6 \(20 \bmod 4 = 0\), więc cyfra 20-ta to **6**. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. 2** - to byłaby cyfra na pozycji \(1, 5, 9, 13, 17, 21\). - **B. 0** - pozycje \(2, 6, 10, 14, 18, 22\). - **C. 1** - pozycje \(3, 7, 11, 15, 19, 23\). **Trik:** Rozwiniecie \(\tfrac{k}{1111}\) zawsze ma okres długości 4 (bo \(1111 \cdot 9 = 9999 = 10^{4} - 1\)). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/7) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F7) ## Podobne zadania - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (3 pkt) Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby 2 10 27 + , zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco: ( ) ( ) ( - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) Oblicz 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟓⋅𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟐𝟕 𝐥𝐨𝐠𝟕√𝟒𝟗 𝟔 Zapisz obliczenia. 1. 0-1-2 MMAP-R0_100 - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Dane są liczby 27 log 12 log 3 2 2 a i ( )( ) 7 3 6 3 7 6 b . Wartością jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę. Odpowiedź: a b MMA_1P - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Liczba √-64 3 + √27 3 √-32 5 jest równa A. (-2) B. (-1 2) C. 1 2 D. 2 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_