# Matematyka — zadanie 8 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/8 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności ## Treść Zadanie 5. (0-1) Na rysunku przedstawiony jest przedział ( 10,k , gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. Stąd wynika, że A. 9 k = B. 11 k = C. 21 k = D. 31 k = x MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Na rysunku przedstawiony jest przedział (-10,k>, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. A. k=9, B. k=11, C. k=21, D. k=31 ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(2^{20} - 2\) ## Sposób 1 - Sprowadzenie wszystkiego do potęg 2 **Zamiana każdej liczby na potęgę 2:** \[8 = 2^3 \Rightarrow 8^{20} = (2^3)^{20} = 2^{60}\] \[4 = 2^2 \Rightarrow 4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}\] \[4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}\] **Podstawiamy do wyrażenia:** \[\frac{8^{20} - 2 \cdot 4^{20}}{2^{20} \cdot 4^{10}} = \frac{2^{60} - 2 \cdot 2^{40}}{2^{20} \cdot 2^{20}}\] Upraszczamy mianownik i drugi składnik licznika: \[= \frac{2^{60} - 2^{41}}{2^{40}}\] **Wyłączamy \(2^{41}\) przed nawias w liczniku:** \[2^{60} - 2^{41} = 2^{41}(2^{19} - 1)\] **Dzielimy przez mianownik:** \[\frac{2^{41}(2^{19} - 1)}{2^{40}} = 2^{41-40} \cdot (2^{19} - 1) = 2(2^{19} - 1)\] \[\boxed{= 2^{20} - 2}\] ## Sposób 2 - Rozbicie ułamka na dwa składniki Zamiast sprowadzać od razu do potęg 2, zauważamy, że \(8 = 2 \cdot 4\), więc: \[8^{20} = (2 \cdot 4)^{20} = 2^{20} \cdot 4^{20}\] **Podstawiamy do licznika:** \[8^{20} - 2 \cdot 4^{20} = 2^{20} \cdot 4^{20} - 2 \cdot 4^{20} = 4^{20}(2^{20} - 2)\] **Całe wyrażenie:** \[\frac{4^{20}(2^{20} - 2)}{2^{20} \cdot 4^{10}}\] Dzielimy \(\frac{4^{20}}{4^{10}} = 4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}\): \[\frac{4^{20}}{4^{10}} \cdot \frac{2^{20} - 2}{2^{20}} = \frac{2^{20}(2^{20} - 2)}{2^{20}}\] \[\boxed{= 2^{20} - 2}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach: \[(a^r)^s = a^{r \cdot s}, \quad a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \quad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\] \[(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r\] Wszystkie cztery wzory były kluczowe - przeliczanie \(8^{20}\), \(4^{20}\), \(4^{10}\) na potęgi 2 i skracanie ułamka. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | **A** | Uznanie, że \(8^{20} = 2 \cdot 4^{20}\), co oznaczałoby \(2^{60} = 2^{41}\) - błąd przy konwersji \(8\) na potęgę 2 lub pomylenie \(8^{20}\) z \(2^{20}\) | | **C** | Błędne przyjęcie \(4^{10} = 2^{10}\) (zamiast \(2^{20}\)) przy upraszczaniu mianownika, co zmienia wynik na \(2^{19}\) | | **D** | Zamiana \(8^{20}\) i \(4^{20}\) z błędem w wykładniku (np. dodanie zamiast mnożenia: \((2^3)^{20} = 2^{23}\)), co zupełnie zniekształca wynik | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), a NIE \(a^{m+n}\)! Przy \((2^3)^{20}\) mnożymy wykładniki: \(3 \times 20 = 60\), nie \(3 + 20 = 23\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu. > ⚠️ **Uwaga:** Przy \(\frac{2^{60} - 2^{41}}{2^{40}}\) nie można „odejmować wykładników" osobno w liczniku - np. \(2^{60} - 2^{41} \neq 2^{60-41} = 2^{19}\). Odejmowania potęg NIE upraszczamy jak dzielenia! > ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(2 \cdot 4^{20} = 2^1 \cdot 2^{40} = 2^{41}\), a nie \(2^{80}\) ani \((2 \cdot 4)^{20} = 8^{20}\). Czynnik 2 stoi przed całą potęgą, nie wchodzi do podstawy. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Sprowadzenie do podstawy 2 Z karty wzorów \(a^{m\cdot n} = (a^{m})^{n}\): - \(8^{20} = (2^{3})^{20} = 2^{60}\) - \(4^{20} = (2^{2})^{20} = 2^{40}\), zatem \(2\cdot 4^{20} = 2^{41}\) - \(4^{10} = 2^{20}\), zatem \(2^{20}\cdot 4^{10} = 2^{40}\) Wyrażenie: \[\tfrac{2^{60} - 2^{41}}{2^{40}} = \tfrac{2^{60}}{2^{40}} - \tfrac{2^{41}}{2^{40}} = 2^{20} - 2^{1} = 2^{20} - 2.\] ### Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika \[2^{60} - 2^{41} = 2^{41}(2^{19} - 1).\] \[\tfrac{2^{41}(2^{19}-1)}{2^{40}} = 2\cdot(2^{19}-1) = 2^{20} - 2.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. 0** - \(8^{20} \neq 2\cdot 4^{20}\), bo \(2^{60}\neq 2^{41}\). - **C. \(2^{19}\)** - pomyłka przy odejmowaniu: ktoś policzył \(\tfrac{2^{60}-2^{41}}{2^{40}}\) jako \(2^{20}-2^{21}/2\), co jest \(2^{20}-2^{20}\) itd. Błąd. - **D. \(4 - 2^{10}\)** - mieszanka; wykładniki zbędne. **Trik:** W zadaniach z potęgami zawsze sprowadzaj do wspólnej podstawy (tu \(2\)). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/8) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F8) ## Podobne zadania - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) Pan Jan sprzedał w swoim sklepie 120 kg truskawek. Połowę masy tych truskawek sprzedał w dużych opakowaniach, 10% masy truskawek - w średnich, - [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/16) — Zadanie 16. (0-2) We wtorek w kwiaciarni obowiązywały ceny zapisane poniżej. Za dodatki użyte do wykonania bukietu dolicza się 20% wartości kwiatów, z których w - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19) — Zadanie 19. (0-2) Na pływalni w marcu obowiązywała promocja. Wojtek był w marcu codziennie jeden raz na pływalni i wykorzystał wszystkie ulgi promocyjne. Ile ko - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) W tabeli zapisano cztery wyrażenia arytmetyczne: I 224 ∶2 II 412 ⋅4 III 225 ∶8 IV (4 ⋅8)4 Które z tych wyrażeń ma największą wartość? Wybierz w _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_