# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 9. (0-1)
Funkcja f jest określona wzorem
( )
(
) (
)
1
2
2
2
3
f
x
x
x
dla każdej liczby rzeczywistej
2
x ≠-. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa
A.
8
B.
1
2
C. 1
2
D. 8
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = -2(x+2)^(-1)(x-3)^2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠-2. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa A. -8, B. -1/2, C. 1/2, D. 8.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(-\dfrac{1}{2}\)

## Sposób 1 - Podstawienie bezpośrednie

Mamy wzór funkcji:
\[f(x) = -2(x+2)^{-1}(x-3)^2\]

Podstawiamy \(x = 2\):
\[f(2) = -2 \cdot (2+2)^{-1} \cdot (2-3)^2\]

Obliczamy każdy czynnik osobno:
\[2 + 2 = 4 \implies (2+2)^{-1} = 4^{-1} = \frac{1}{4}\]
\[2 - 3 = -1 \implies (2-3)^2 = (-1)^2 = 1\]

Podstawiamy:
\[f(2) = -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{2}{4} = \mathbf{-\frac{1}{2}}\]

## Sposób 2 - Zapisanie wzoru jako ułamek (weryfikacja)

Zapiszmy \((x+2)^{-1} = \dfrac{1}{x+2}\), więc wzór funkcji to:
\[f(x) = \frac{-2(x-3)^2}{x+2}\]

Dla \(x = 2\):
\[f(2) = \frac{-2 \cdot (2-3)^2}{2+2} = \frac{-2 \cdot (-1)^2}{4} = \frac{-2 \cdot 1}{4} = \frac{-2}{4} = \mathbf{-\frac{1}{2}}\]

Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź **B**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność potęgi o wykładniku ujemnym:
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]
Użyliśmy tego zamieniając \((x+2)^{-1}\) na \(\dfrac{1}{x+2}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A: \(-8\) | Zapomnienie o wykładniku \(-1\) - liczenie \((x+2)^{-1}\) jako \((x+2)^1 = 4\) zamiast \(\frac{1}{4}\), co daje \(-2 \cdot 4 \cdot 1 = -8\) |
| C: \(\frac{1}{2}\) | Pominięcie znaku minus przed \(-2\), czyli liczenie \(2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{2}\) zamiast \(-\frac{1}{2}\) |
| D: \(8\) | Podwójny błąd: pominięcie znaku minus **i** potraktowanie \((x+2)^{-1}\) jako \((x+2)^1\), co daje \(2 \cdot 4 \cdot 1 = 8\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik \(-1\) to **odwrotność**, nie wyraz \((x+2)\) ze znakiem minus! \((x+2)^{-1} = \dfrac{1}{x+2}\), nie \(-(x+2)\).

> ⚠️ **Uwaga:** \((-1)^2 = 1\), nie \(-1\). Potęga parzysta zawsze daje wynik nieujemny - to częsty błąd przy liczeniu \((2-3)^2\).

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie sprawdza tylko, czy umiesz podstawić wartość do wzoru. Nie komplikuj - po prostu wstawiasz \(x = 2\) i działasz krok po kroku, jeden czynnik naraz.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie
Podstawiamy \(x = 2\):
\[f(2) = -2\cdot(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^{2} = -2\cdot 4^{-1}\cdot (-1)^{2} = -2\cdot \tfrac{1}{4}\cdot 1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}.\]

### Sposób 2 - Z ujemnej potęgi
\(4^{-1} = \tfrac{1}{4}\) (karta wzorów: \(a^{-n} = \tfrac{1}{a^{n}}\)).
\((-1)^{2} = 1\) (kwadrat zawsze dodatni).
Wynik: \(-2\cdot \tfrac{1}{4}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-8\)** - ktoś zinterpretował \((x+2)^{-1}\) jako \((x+2)\) oraz \((x-3)^{2}\) jako \((x-3)\). Wtedy \(-2\cdot 4\cdot(-1) = 8\) lub podobny błąd.
- **C. \(\tfrac{1}{2}\)** - znak odwrócony.
- **D. 8** - pełna pomyłka znaku i potęgi.

**Trik:** Oznaczenie \(a^{-1}\) to \(\tfrac{1}{a}\), a nie \(-a\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-183%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_