# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 9. (0-1)
Wykresem funkcji kwadratowej
( )
2
6
3
f x
x
x
jest parabola, której wierzchołkiem jest
punkt o współrzędnych
A. (
)
6,
3
B. (
)
6, 69
C. (
)
3,
12
D. (
)
6,
3
Wykres funkcji kwadratowej f(x) = x^2-6x-3 jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. (-6,-3); B (-6,69); D. (3,-12); C. (6,-3).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \((1, -12)\)

## Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli

Mamy funkcję \(f(x) = x^2 - 2x - 11\), czyli \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -11\).

**Wyznaczamy współrzędną \(p\) (odcięta wierzchołka):**

\[p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1\]

**Wyznaczamy współrzędną \(q\) (rzędna wierzchołka):**

\[q = -\frac{\Delta}{4a}\]

Najpierw liczymy wyróżnik:

\[\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48\]

Zatem:

\[q = -\frac{48}{4 \cdot 1} = -\frac{48}{4} = -12\]

**Wierzchołek paraboli to \(W = (1, -12)\).**

## Sposób 2 - przekształcenie do postaci kanonicznej

Doprowadzamy \(f(x) = x^2 - 2x - 11\) do postaci \(a(x-p)^2 + q\) przez uzupełnienie do pełnego kwadratu.

Wydzielamy kwadrat z pierwszych dwóch wyrazów:

\[f(x) = (x^2 - 2x) - 11\]

Uzupełniamy do pełnego kwadratu - do wyrażenia w nawiasie brakuje wyrazu \(+1\), więc dodajemy i odejmujemy \(1\):

\[f(x) = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 11\]

\[f(x) = (x - 1)^2 - 12\]

To jest postać kanoniczna \(f(x) = a(x-p)^2 + q\), gdzie:
- \(p = 1\) - odcięta wierzchołka
- \(q = -12\) - rzędna wierzchołka

**Wierzchołek: \(W = (1, -12)\). ✓**

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:
\[p = -\frac{b}{2a}, \qquad q = -\frac{\Delta}{4a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 bezpośrednio do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka.

**Dział 7 (s. 8)** - postać kanoniczna:
\[f(x) = a(x - p)^2 + q\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 przy uzupełnianiu do pełnego kwadratu.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Wzięto \(p = -\frac{b}{a} = -(-2) = 2\), a potem pomylono znak - zapisano \(-2\) zamiast \(2\). Lub wzięto \(p = b = -2\) wprost bez wzoru. |
| B | Odcięta \(-2\) - jak wyżej (błędna). Rzędna \(-12\) - ta część jest poprawna, ale przy błędnej odciętej. |
| C | Odcięta \(1\) - poprawna! Rzędna obliczona błędnie: prawdopodobnie policzono \(f(1) = 1 - 2 - 11 = -12\) i zapisano \(-8\) przez arytmetyczny błąd (np. \(1 - 2 - 11 = -8\) - pominięto \(c = -11\) i dodano tylko \(-8\)). Lub wyliczono \(q = c = -11\) i pomylono z \(-8\). |
| D | **Poprawna.** |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na \(p\) to \(-\frac{b}{2a}\) - pamiętaj o minusie przed ułamkiem! Przy \(b = -2\) łatwo zgubić podwójny minus: \(-\frac{-2}{2} = +1\), nie \(-1\).

> ⚠️ **Uwaga:** Rzędna wierzchołka \(q \neq f(0)\) i \(q \neq c\)! Żeby policzyć \(q\), podstaw \(x = p\) do wzoru funkcji: \(f(1) = 1 - 2 - 11 = -12\). To szybka alternatywa dla wzoru \(q = -\frac{\Delta}{4a}\) i dobra weryfikacja.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do pełnego kwadratu (Sposób 2) - jeśli dodajesz \(+1\) w nawiasie, musisz też odjąć \(-1\) na zewnątrz, żeby nie zmienić wartości funkcji. Ten krok jest najczęstszym źródłem błędów rachunkowych.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Wzór na wierzchołek
Dla \(f(x) = ax^2 + bx + c\) wierzchołek \(W = (p, q)\), gdzie \(p = -\tfrac{b}{2a}\), \(q = f(p)\) (karta wzorów, Dział 4). Tu \(a=1,\ b=-2,\ c=-11\):
\[p = -\tfrac{-2}{2\cdot 1} = 1.\]
\[q = f(1) = 1 - 2 - 11 = -12.\]
Wierzchołek: \((1, -12)\).

### Sposób 2 - Postać kanoniczna
\[f(x) = x^2 - 2x - 11 = (x-1)^2 - 1 - 11 = (x-1)^2 - 12.\]
Stąd wierzchołek w \((1, -12)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((-2, -3)\)** - pomylenie znaków w \(p = -\tfrac{b}{2a}\).
- **B. \((-2, -12)\)** - zły znak \(p\), dobra wartość \(q\).
- **C. \((1, -8)\)** - dobry \(p\), ale błąd rachunkowy przy \(q\).

**Trik:** Zawsze sprawdź: dobry \(p\) daje minimum \(q = f(p)\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_