# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 6. (0-1)
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem
. Liczby
1x ,
2x są
różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
A.
1
2
8
x
x
B.
1
2
2
x
x
C.
1
2
2
x
x
D.
1
2
8
x
x
( )
(
)(
)
2
3
5
f x
x
x

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = -2(x+3)(x-5). Liczby x_1, x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem A. x_1 + x_2 = -8, B. x_1 + x_2 = -2, C. x_1 + x_2 = 2, D. x_1 + x_2 = 8.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

\(x_1 + x_2 = 11\)

## Sposób 1 - Bezpośredni odczyt z postaci iloczynowej

Funkcja jest dana w **postaci iloczynowej**:
\[f(x) = -3(x-2)(x-9)\]

Miejsca zerowe to wartości \(x\), dla których \(f(x) = 0\):
\[-3(x-2)(x-9) = 0\]

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników wynosi zero:
\[x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2\]
\[x - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 9\]

Zatem:
\[x_1 + x_2 = 2 + 9 = \mathbf{11}\]

## Sposób 2 - Wzory Viète'a

Rozpisujemy funkcję do **postaci ogólnej** \(ax^2 + bx + c\):
\[f(x) = -3(x-2)(x-9) = -3(x^2 - 11x + 18)\]
\[f(x) = -3x^2 + 33x - 54\]

Mamy więc: \(a = -3\), \(b = 33\), \(c = -54\).

Ze wzorów Viète'a suma miejsc zerowych wynosi:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{33}{-3} = \mathbf{11}\]

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**

Postać iloczynowa (gdy \(\Delta \geq 0\)):
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Bezpośrednio widać miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\) - skorzystaliśmy z tego w Sposobie 1.

Wzory Viète'a:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
Zastosowane w Sposobie 2.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | Policzono \(-(2+9) = -11\), błędnie dodając minus ze współczynnika \(-3\) do sumy pierwiastków |
| C | Policzono \(x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 9 = 18\), a następnie pomnożono przez \(-3\): wynik \(-54\) lub pomylono sumę z \(-\frac{b}{a}\) licząc \(-\frac{33}{-1}\) zamiast \(-\frac{33}{-3}\) - albo wzięto samo \(b = 33\) bez znaku |
| D | Wzięto \(-b = -33\) zamiast \(-\frac{b}{a} = -\frac{33}{-3} = 11\), czyli zapomniano podzielić przez \(a\) |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \(-3\) przed nawiasami **nie wpływa na miejsca zerowe** - przyrównujemy do zera tylko nawiasy \((x-2)\) i \((x-9)\). Czynnik stały nigdy nie wyzeruje wyrażenia.

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 - przy wzorze Viète'a pamiętaj o znaku: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), a nie \(\frac{b}{a}\). Tu \(b = 33\) i \(a = -3\), więc wynik to \(-\frac{33}{-3} = +11\), nie \(-11\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl sumy miejsc zerowych \((x_1 + x_2)\) z iloczynem \((x_1 \cdot x_2)\). Iloczyn wynosiłby \(\frac{c}{a} = \frac{-54}{-3} = 18\), co nie jest żadną z oferowanych odpowiedzi - to właśnie mylenie tych dwóch wzorów Viète'a jest częstym błędem.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Odczyt z postaci iloczynowej
Z postaci iloczynowej \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\) odczytujemy miejsca zerowe: \(x_1 = 2,\ x_2 = 9\). Zatem:
\[x_1 + x_2 = 2 + 9 = 11.\]

### Sposób 2 - Wzory Viète'a
Po rozwinięciu: \(f(x) = -3(x^2 - 11x + 18) = -3x^2 + 33x - 54\). Ze wzoru Viète'a \(x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a} = -\tfrac{33}{-3} = 11\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(-11\)** - zły znak (prawdopodobnie błąd przy ekstrakcji z \((x-2)(x-9)\)).
- **C. 33** - to \(-\tfrac{b}{a}\) z niepoprawnym znakiem \(a\) (pomylenie).
- **D. \(-33\)** - podwójny błąd znaku.

**Trik:** Postać iloczynowa \(a(x-x_1)(x-x_2)\) bezpośrednio ujawnia miejsca zerowe.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Dana jest prosta l o równaniu 2 2 3 x y oraz punkt ( ) 2 ,3 - A . Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) (28) Funkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. Odpowiedź: EMAP-P0_100 Rozwiązan
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem ( ) 2 f x x bx c + jest parabola, na której leży punkt ( ) 0, 5 A = . Osią symetrii tej parab
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑘+ 2)𝑥+ (𝑘-3), gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybier

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_